Оценки констант Харди для областей, обладающих специальными свойствами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Работа выполнена на кафедре теории функций и приближений Института математики и механики им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Авхадиев Фарит Габидинович.

Официальные оппоненты: Клячин Алексей Александрович,

доктор физико-математических наук, доцент ФГАОУ ВПО

«Волгоградский государственный университет»,

Мусин Ильдар Хамитович, доктор физико-математических наук, вед. науч. сотр. отдела теории функций Институт математики с ВЦ УНЦ РАН Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева

Сибирского отделения РАН.

Защита состоится «23» октября 2014 г. в 14:30 на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 35.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» по адресу: 420008, Казань ул. Кремлевская, 35.

Автореферат разослан «_» июля 2014 г.

диссертационного совета Д 212.081.10 кандидат физ.-мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена неравенствам типа Харди. Рассматриваемые интегральные неравенства связывают в одномерном случае функцию и ее производную, а в многомерном случае — функцию и модуль ее градиента. Основное внимание в работе уделяется вопросам существования и точности констант в многомерных интегральных неравенствах.

Актуальность темы диссертации. Неравенства типа Харди являются относительно новой областью в математике. Бурное развитие теория неравенств типа Харди получили лишь в 20 веке, в особенности, в его второй половине. Значительные результаты в этой области, помимо самого Г.Х. Харди, связаны с именами таких математиков как Е.Б. Дэвис, С.Л. Соболев, В.Г. Мазья, X. Брезис, М. Маркус, Дж. Таленти, Дж. Томаселли, А. Куфнер, В.Д. Степанов, Ф.Г. Авхадиев, К.-Й. Виртц, Д.В. Прохоров, М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, К. Бэндл, М. Флечер, А. Анкона, Й.Л. Льюис и многие другие.

Помимо того, что неравенства типа Харди представляют интерес сами по себе, они обладают еще и большим прикладным потенциалом. Так, неравенства этого типа находят важные применения в различных областях математики и математической физики. Например, С.Л. Соболев1 использовал неравенства типа Харди в теории вложений функциональных пространств, и также применял их при оценке потенциала Рисса. При оценке жесткости кручения неравенства типа Харди широко применялись Ф.Г. Авхадиевым. С изучением спектра двумерного оператора Шредингера связаны результаты А. Лаптева и Т. Вейдла. Работы А. Балинского и А. Лаптева по тематике неравенств типа Харди связаны с проблемой существования резонансных состояний.

Кроме того, следует отметить, что неравенства типа Харди нашли применение в теории интегральных и дифференциальных уравнений, в нелинейном анализе, при изучении краевых задач с особенностями. Точные значения констант в неравенствах Харди или их оценки используются при получении оценок нижней границы спектра эллиптических дифференциальных операторов с вырождающимися коэффициентами.

'Соболев, СЛ.Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных производных / С.Л. Соболев. - М.: Наука, 1989. - 254 С.

Одномерное неравенство типа Харди выглядит следующим образом:

где / : [0, оо) —> К — абсолютно непрерывная функция, такая, что /(0) = 0, /' 6 Ь2(0, оо), / ф 0. В данном неравенстве константа 4 является точной, но не существует допустимой экстремальной функции, на которой достигается равенство.

В рамках данной диссертационной работы исследуется многомерный аналог

где П — произвольная открытая область из евклидова пространства К™, 6(х) = (^(а;, дО.) — функция расстояния до границы области, V/ — градиент функции / : —К.. Ввиду того, что в неравенстве присутствует функция расстояния до границы области, вводится естественное ограничение на область О С М", / Ж", иначе д(х) = оо и неравенство теряет смысл.

Если вопрос с константой в одномерном неравенстве вида (1) исчерпан, т.е. константа найдена и она точна, то в многомерном случае (2) значение этой константы, вообще говоря, зависит от вида области. Большинство известных результатов в данном направлении получены для отдельных классов областей, обладающих некоторой особенностью. Так, например, рядом математиков различными способами было показано, что для любой выпуклой области Г2 С К" константа сп(0) равна 4 (см., например, работы таких математиков как Е.Б. Дэвис, Т. Матскевич и П.Е. Соболевский, X. Брезис и М. Маркус, М. Хоффманн-Остенхоф, Т. Хоффманн-Остенхоф, А. Лаптев).

Достаточно распространен подход, при котором для классификации областей используются функционально-геометрические характеристики областей. Так, например, для областей с локально липшицевой границей показано что константа Харди существует и конечна. Такой подход в своих исследованиях применяли К. Бэндл и М. Флечер, Е.Б. Дэвис, В. Опик и А. Куфнер и другие. Однако, липшицевость границы не является необходимым условием конечности константы Харди. Доказаны неравенства типа Харди и при более общих условиях на границу множества. В этом направлении работали А.

Анкона, X. Брезис и М. Маркус, Е.Б. Дэвис, П. Коскела и X. Цонг, Й.Л. Лыоис, В.Г. Мазья, А. Ваннебо, Ф.Г. Авхадиев, А. Лаптев и A.B. Соболев, и другие математики. Кроме того, известен подход, когда для классификации областей используются свойства специально введенных на них функционалов. Так, например, В.М. Миклюковым и М.К. Вуориненым вводится понятие изопериметрического профиля, который далее используется для получения двусторонней оценки константы Харди. В этом направлении также работали такие математики, как: Й.Л. Льюис, В.Г. Мазья и другие.

Выделим два важных для нашей диссертационной работы результата. Ф.Г. Авхадиевым 2 доказана теорема А.

Теорема А. Пусть Q с R", п > 2, П R". Если 1 < р < оо и п < s < оо, то для любой функции f(x) е Сц(Г2)

является точной и не может быть, в общем случае, заменена меньшим числом.

Особо следует отметить, что в данной теореме нет каких-либо ограничений на область С1, то есть результат получен сразу для всех областей. Более того, существуют области, на которых константа в нерваенстве является точной, т.е. в общем случае не может быть заменена меньшей постоянной. Однако, для отдельных классов областей постоянная может быть уменьшена. В первой главе нами предложен новый класс областей, для которых константа Харди Cp,s(fl) < (p/(s — п))р, т.е. аналог теоремы А справедлив с лучшей константой.

Следующим важным для нашей работы результатом является гипотеза Е.Б. Дэвиса, которую он сформулировал в 1995 году. Он предположил, что для любой области константа в неравенстве типа Харди (2) не может быть меньше, чем 4. То есть так же, как и в случае п = 1, когда такая оценка является следствием классического результата Г.Х. Харди. А именно, Дэвис предположил, что в неравенстве вида (2) оптимальной оценкой снизу для константы с„(О) будет число 4, независимо от вида области.

2 Avkhadiev, F.G. Hardy type inequalities in higher dimensions with explicit estimate of constants / F.G. Avkhadiev // Lobachevskii J. Math. - 2006. - V. 21. - P. 3-31.

где S(x) = dist(x, dQ). При этом константа

Гипотеза Дэвиса в общем случае оказалась неверной, хотя при п = 2 и п = 3 мы не имеем контрпримеров, опровергающих эту гипотезу. Однако при п > 4 такой пример существует. Впервые на существование такого примера обратили внимание математики М.Маркус, В.Митцель и Я.Пинховер. Известно неравенство:

/ ^ Лс < / |У/(Ж)|2 сь, V/ е СЙ(К»).

С учетом того, что для О, = Мп\ расстояние до границы области будет выражаться в виде 0Г2) = 5