Расширение вселенной в Общей теории относительности

Простое следствие уравнений Фридмана и значение уравнения Эйнштейна

Математическая структура расширения вселенной согласно Общей теории относительности должна соответствовать двум аспектам

• Достаточно общая, чтобы содержать полностью суть уравнения Эйнштейна общей теории относительности и его доказательство;
• Достаточно простая (благодаря симметрии) чтобы, быть отображенной в короткий, элементарный и самодостаточный способ, избегая полных математических выражений таких как тензоры, в рассматриваемых объектах;

Космологические принципы:

• Униформность( все места похожи): распределение масс однородно, нет центра, все галактики подчиняются общему расширению, все что происходит наблюдается одинаково во всех галактиках.
• Изотропность( в каждом месте все направления похожи): с каждой галактики в любое время видно каждую другую галактикудвижущейся радиально, со скоростью которая зависит от расстояния между ними( скорость пропорциональна расстоянию в приближении, где расстояние и скорости малы, соответствуют сравнений к видимой вселенной и скорость света и также если они большие если точно определим их как описано ниже).

Геометрическое уравнение

Поскольку t (поле) функция в пространстве-времени, и при каждом фиксированом значении t получается 3-мерное подпространство S состоящее из галактик в момент t( или что тоже самое каждая галактика в возрасте t), и такое пространство(то есть расширение не по времени) Каждое из пространств S соотвествует другому с определенным коэфициентом расширения. Поэтому их можна представлять как 3-мерную карту галактик во вселенной, которая локально точная( показывая , как галактики соотносятся со своими соседями с точки зрения человека, наблюдающего за расширением в некоторой локальной точке) с коэфициентом расширения, который определяется временной координатой. Эта карта имеет свою трехмерную пространственную геометрию( локально-Эвклидовую в первом приближении с постоянной кривизной благодаря космологическим принципам, и есть или эвклидовой, или сферической, или гиперболической в зависимости от знака кривизны) В этой карте мы можем рассматривать поверхности и треугольники. Зафиксируем две галактики и пусть переменная r - расстояние между ними в S. Таким образом, r получается как сумма малых величин в цепочке промежуточных галактик между двумя зафиксированными, взятых в одном и том же возрасте. Или подходя формально мы можем взять 2 ближайшие галактики так, чтобы r было "малым"( они могут обмениваться световыми лучами за малое, по сравнению с возрастом вселенной, время) и свойства будут рассматриватся следуя этому приближению.

H = r'/r

Благодаря симметриям пространства-времени( согласно космологическом принципам), среди 20 компонент кривизны Римана пространства-времени вокруг точки в локальной системе координат, только 6 будут ненулевыми. Это диагональные элементы матрицы 6×6 Римановой кривизны и соотвественно эффектам кривизны пространства-времени, на Гауссовых кривизнах малых поверхностей в каждом из 6 направлений поверхностей которые соотвествуютпарам координатных осей.

3 компоненты "чистого пространства"( с направлениями (x,y), (x,z), (y,z) ) имеют одно и то же значение, которое мы будем обозначать через R. Это гаусова кривизна вокруг произвольной точки "малой" пространственной поверхности, которая внешне "прямая" или "плоская"( то есть ее внешняя кривизна равна нулю). Откидание внешней кривизны в направлении 3го пространственного измерения естественно из соображений симметрии; но внешнюю кривизну в направлении временной оси, нужно сохранить, так как она пропорциональна движению расширения( таких как расширение вселенной) приборами, измеряющими эту кривизну, как в направлении "чистого пространства", то есть состоящим из "одновременных" событий( происходящих в "одно время"). Но S внешне изогнутое по временному измерению из-за расширения вселенной. Таким образом компонента R "чистого пространства" кривизны пространства-времени будет отличаться от внешней кривизны S. Для правильного измерения R необходимо брать "плоскую" поверхность( с нулевой внешней кривизной), которая есть касательной в рассматриваемой точке и может быть определена как мгновенная связанная с нерасширяемым апаратом вместо использования временной переменной t.

Возьмем третью галлактику так чтобы в S в любой момент времени, площадь треугольника образованного 3 галактиками была равна r 2 . Это свойство сохраняется вдоль времени (при рассмотрении тех же галлактик), если площадь любой расширеной поверхности остается пропорциональной r 2 .

где k внутренняя( Гаусова ) кривизна треугольника, и углы определяются в S, таким образом есть точным по отношению к пути каждой галактики естесственно рассматривая другие галактики на ночном небе. Гаусова кривизна этого треугольника есть сумой двух слагаемых:

k = R + h

где R - внутренняя кривизна пространства-времени в пространстве направлений( введенных ранее ), а h - слагаемое от внешней кривизны S во временном измерении.

Внешняя кривизна задается коэффициентом Хаббла H = r'/r. Дествительно, H есть отношение угла r' между временными векторами( ортогональными к S) в ближайших точках S, с расстоянием между ними которое равно r. Это обьясняет как происходят события в тонком шаре пространства-времени между последовательными S, не рассматривая остальную часть пространства-времени.

Это способствует внутренней кривизны S по его площади:

В плоском Эвклидовом пространстве-времени, r должно быть пропорционально t таким образом H=1/t. Далее S будет сферой с радиусом t единиц времени, или c't временных единиц, и внешняя кривизна 1/c't = H/c' которая входит в Гауссову кривизну в квадрате H 2 /c' 2 . Наконец подстановка c' 2 = − c 2 дает необходимый результат. Этот вклад имеет негативный знак, как. в геометрии Минковского( в плоском пространстве-времени Минковского), сфера с временеподобным радиусом, есть двухлистовым гиперболоидом, чья геометрия( заданая геометрией Минковского окружающего пространства-времени, не спутанный с двулистным гиперболоидом в эвклидовом пространстве) не сферический, но гиперболический с отрицательной кривизной Гаусса − H 2 /c 2 .

Теперь получаем геометрическое уравнение: We finally get the geometric equation

K = (R − H 2 /c 2 ).r 2 = R.r 2 − r' 2 /c 2

Так как каждая галактика рассматривается с каждой другой галактики пролетающей радиально, каждый угол треугольника имеет постоянное значение. Так как K тоже постоянная величина во времени, то ее первая производная равна 0: R'.r 2 + 2 Rrr' − 2r'.r"/c 2 = 0 R' + H (2R − 2Rt) = 0

Уравнение из механики

• ρ = плотность массы,
• U = c 2 ρ = плотность энергии
• E = U r 3 = энергия в расширяемой области пространства с объемом r 3
• P = давление.

−E' = P(r 3 )' = 3 P r'r 2 E' = (U r 3 )' = U'r 3 + 3 Ur'r 2

U' + 3 H (U + P) = 0

Все вместе для получения уравнения Фридмана

Уравнение Эйнштейна общей теории относительности связывает 10-мерный тэнзор энергии импульса с 20-мерным тэнзором Римановой кривизны, путем который более точно выражается в терминах последнего. Однако в простом случае расширения вселенной оно сокращается к связи между двумя парами переменных:

• Тэнзор энергии импульса представляется через плотность энергии U и давление P.
• Риманова кривизна представляется пространственной кривизной R и кривизной пространства-времени Rt.

Отношение не включает в себя переменную H, которая не описывает прямое, локальную физическую величину.

Можна получить эту связь с уравнений приведенных выше, предполагая, что их члены пропорциональны, с коэффициентом пропорции который мы определим как 3G* ( G* = 8πG/c 4 , где G - гравитационная постоянная Ньютона):

G* U' = 3R' G* (U + P) = 2R − 2Rt

Интегрируя первое уравнение получим

Λ + G* U = 3R

где Λ - космологическая постоянная. Это может быть использовано чтобы переопределить другое уравнение двумя упрощенными способами:

Λ− G* P = R + 2 Rt 6 Rt = 3Λ − 3R − 3G* P 6 Rt = 2Λ − G* (U +3P) Космологическая постоянная может быть формально исключена если взять G* U +Λ как новое определение G* U, и G* P − Λ как новое определение G* P. Это может быть интерпретировано как скрытая комбинация постоянной плотности энергии и постоянной величини давления с отрицательным значением, которое не взаимодействует с обычным веществом кроме гравитационного воздейтвия: такие механические системы остаются инвариантными при расширении, как мыльная пленка пузыря может расширяться с постоянной плотностью поверхности энергии с постоянным поверхностным натяжением:

Наконец, с помощью уравнения Rt = r"/rc 2 получаем получаем закон эволюции расширения:

• U - временная компонента тэнзора энергии импульса. Она представляет плотность энергии, которую можна описать как "малый объем пространства" или "поток через этот объем" во временном направлении, где она сохраняеться; она связана с суммой трех компонент римановой кривизны вдоль направлений пространственных поверхностей в заданой системе координат, которые равны R.
• Все 3 пространственные компоненты Px, Py, Pz на диагонали тэнзора энергии импульса равны P. Любое измерение силы которое возникает как поверхность в обычном пространстве, но это по сути 3-мерное пространство по отношению к временному расширению. Например Px связано с суммой 3 компонент римановой кривизны в пространстве с координатами y,z,t (ортогонального к x) : R в направлении (y,z) , и две компоненты равные Rt в направлениях (y,t) и (z,t).

Эволюция расширения может быть представлена в интегральной форме(включая r' вместо r'') используя постоянное значение K = R.r 2 − r' 2 /c 2 которое игнорируется когда мы убираем производную:

Это напоминает уравнение движение частицы в поле потенциальной энергии, интерпретируемое следующим образом

• − c 2 K/2 - "полная энергия" ( то есть нет другой энергии, или можно понимать как выражение геометрических величин, которые играют роль внутренней энергии в Общей теории относительности),
• r' 2 /2 - "кинетическая энергия".
• Таким образом "потенциальная энергия" это − c 2 Rr 2 /2 = − (c 2 Λ r 2 /6) − (c 2 G*/6) E/r

Если Λ > 0, то тогда член − (c 2 Λ r 2 /6) может быть отброшен для малых значений r и будет главным членом для больших значений r. Так как потенциал создает движение расширения вселенной ведет себя как механическая система отклоняющаяся от точки нестойкого равновесия, то есть с экспоненциальной скоростью по отношению к времени, с временной характеристикой 1 / c √ Λ/3 .

m = (4/3)πr 3 ρ - масса внутри шара с радиусом r, так что E= c 2 ρr 3 = (3c 2 /4π)m G = c 4 G*/8π

− (c 2 G*/6) E/r = − G m/r

Другие решения

Представим вселенную где материя( комбинация энергии и давления) является суперпозицией независимых состояний, каждое из которых имеет собственную пропорциональность между плотностью U и давлением P :

U' = − 3 H (U + P) = − H (3+α)U (ln U)' = U'/U = −(3+α)r'/r = −(3+α)(ln r)'

U пропорционально r −(3+α)

Космологическая постоянная, также называемая темной энергией, которая может рассматриваться как частичный случай при α = − 3, дающая потенциал r 2 . С точки зрения главного вклада в потенциал, этот случай есть исключением: мы имеем деление на ноль; r "бесконечная сила" в t является по факту экспоненциальная функция времени.