научная статья по теме НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ВНЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ Физика

Текст научной статьи на тему «НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ВНЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ»

ИЗВЕСТИЯ РАН. СЕРИЯ ФИЗИЧЕСКАЯ, 2009, том 73, № 6, с. 821-825

Разработан метод расчета волновой функции off-shell путем решения неоднородного уравнения Шрёдингера с учетом ядерного и кулоновского взаимодействий. Волновая функция off-shell позволяет построить амплитуду рассеяния off-shell, которая нужна для решения проблем с участием трех и более частиц. Важным применением являются расчеты по методу "троянского коня" при исследовании ядерных реакций, актуальных для ядерной астрофизики. Конкретные вычисления проведены для рассеяния нейтрона и протона на ядре 7Be. Использован потенциал Вудса—Саксона и учтено спин-орбитальное взаимодействие.

При описании свойств систем, состоящих из трех и более частиц, приходится использовать вне-энергетическую i-матрицу. Такая ситуация имеет место при решении уравнений Фаддеева. Расчеты с фазово-эквивалентными потенциалами показали, что трехнуклонные данные сильно чувствительны к внеэнергетическому (off-shell) поведению двухчастичной i-матрицы (см. монографию [1] и ссылки в ней). Фазово-эквивалентные потенциалы, дающие одинаковые результаты для связанных состояний, приводят к различным спектрам резонансных состояний из-за влияния off-shell-эффектов [2]. Многочастичные взаимодействия для трех и большего числа частиц могут меняться за счет этих эффектов [3]. В [4] показано, что вклад off-shell-эф-фектов в вероятность рождения Д-резонанса при столкновении тяжелых ионов вполне заметен, хотя и невелик. В теории ядерных реакций широко применяется ^-матричный метод описания энергетической зависимости сечений различных бинарных рекций с участием как элементарных частиц, так и сложных ядер. При вычислении таких наблюдаемых величин, как энергия связи, формфакторы и сечения, важную роль играет зависимость этих величин от off-shell-поведения амплитуд, которое, в свою очередь, зависит от вида потенциала взаимодействия, поэтому, описывая взаимодействие отдельных пар частиц в системе с помощью соответствующих ^-функций, необходимо обобщить это описание таким образом, чтобы оно позволяло находить двухчастичные off-shell-амплитуды [5]. Од-

Национальный университет Узбекистана, Ташкент.

2 Циклотронный институт, Техасский А&М университет, Колледж Стайшн, США.

3 Научно-исследовательский институт ядерной физики им.

Д.В. Скобельцына Московского государственного универ-

ситета им. М.В. Ломоносова.

ним из возможных применений оИ^ИеП-амплиту-ды является извлечение данных о бинарных ядерных процессах, представляющих интерес для ядерной астрофизики, из исследования трехча-стичных реакций при энергиях столкновения частиц выше кулоновского порога. Для этой цели используется метод "троянского коня", разработанный Бауром [6] и практически реализованный группой физиков из университета в Катани (Италия) [7].

1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ВНЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Рассмотрим два ядра, взаимодействие которых описывается суммой короткодействующего и ку-лоновского потенциалов V = Ум + Ус. Кулоновское взаимодействие возьмем в виде

где Яс — кулоновский радиус, 21г, 22г — заряды ядер. Короткодействующий потенциал может содержать спин-орбитальное взаимодействие.

Радиальное уравнение Шрёдингера, описывающее рассеяние этих двух ядер, имеет вид

iL + k - и (r) -dr r -

где к0 = 2цЕ, и(г) = 2ц(У^г) + Ус(г)), У^г) — ядерный потенциал, ц — приведенная масса сталкивающихся ядер (здесь и далее используем систему

единиц, в которой h = c = 1). В точке r = 0 решение должно удовлетворять условию u¡(0) = 0. Асимптотика решения, соответствующего рассеянию, может быть записана в виде

Щ(К sin(V - П ln2kor- + 8), (3)

где n = Z e -- — параметр Зоммерфельда, 8¡ — к0

сумма фазовых сдвигов рассеяния на короткодействующем и кулоновском потенциалах.

Решение уравнения (2), удовлетворяющее условию обращения радиальной волновой функции в нуль в точке r = 0 и содержащее расходящуюся сферическую волну на бесконечности, можно представить в виде

Щ,(ко, r) = j,(V) + k0, r, Г) и(Г )j,(к0 Г) dr', (4)

где G¡ (k0, r, r') — полная функция Грина, удовлетворяющая уравнению

а j¡(x) = —J i (x) — сферическая функция Бес-Ai 2 l + 2

селя, J i (x) — функция Бесселя. Сферическая

функция Бесселя j¡ (x) в нашем определении отличается от общепринятого обозначения (переменная x находится в числителе под знаком корня, а не в знаменателе), и ее асимптотическое поведение имеет вид j¡ (x) ^ sin (x - ^ при x ^ да. Аналогичное определение мы будем использовать для сферических функций Неймана и Ханкеля. Удобство такого определения заключается в том, что соответствующие кулоновские функции переходят в сферические функции Бесселя, Неймана и Ханкеля при отсутствии кулоновского взаимодействия.

Чтобы обеспечить условие "излучения", функция Грина выбирается в виде

G,(ко, r, r) = -к-Г(1; Xl) h (6)

где функции x(i) (r) и %¡2) (r) являются решениями уравнения Шредингера (2) со следующими асимптотиками:

X2)(r)\r^ ^ sin(k0r- nln2k0r- In/2 + 5,). (8) Вронскиан этих решений не зависит от r и равен к0. Заметим, что функция х(2) (r) совпадает с решением (3).

Волновая функция off-shell uj(к0, к, r) является решением уравнения (4), в котором аргумент к0 сферической функции Бесселя заменен на к во всех функциях, кроме функции Грина, что привоев k0 ф к2

дит к неравенству E = — Ф — , но удовлетворяет

на бесконечности граничному условию задачи рассеяния, т.е. волновая функция представляется в виде суммы падающей и рассеянной волн. Волновая функция uj (к0, к, r) при r = 0 удовлетворяет такому же условию, что и волновая функция на энергетической поверхности:

и,(ко, к, r) I = 0 = 0. (9)

будем называть off-shell-волновой функцией. Парциальная компонента off-shell i-матрицы связана с off-shell-волновой функцией следующим соотношением:

t,(к\ к; E) = j(к\ r) и(r)u(ко, к, r)dr. (11)

Найдем теперь дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет off-shell-волновая функция (10). Подействуем на функцию uj (к0, к, r) оператором Lr = — + к2 — u(r) — + 1 -. Простые преоб-

разования приводят к следующему результату:

' d l(l + 1)' — + k0 - u( r) - -^-y--

Полученное уравнение (12) является неоднородным уравнением Шрёдингера, которому удовлетворяет о1^ИеП-волновая функция. Если в уравнении (12) к0 = л/2 ЦЕ положить равным к, то (12) сводится к однородному уравнению (2), которому удовлетворяет волновая функция на энергетической поверхности.

Поведение о1^ИеП-волновой функции около нуля можно найти из (10), а именно получаем

Х(1)(r)Ir^ exp[i(kor- nln2kor- ln/2 + 5,)], (7) u,(ko, k, r)\r^o = (kr)1 + C(ko, k)u(ko, r), (13)

где коэффициент С(к0, к) определяется из выражения

С(kо, k) = --1 [х(1)(r)u(r)j,(kr)dr. (14) ko J

Функция и(к0, г) при малых значениях г ведет себя как г1. Воспользовавшись уравнением (12), можно исключить потенциал из выражения для ¿-матрицы. Таким образом, ¿-матрица выражается через компоненту Фурье от ой^еИ-волновой функции:

¿,( k\ k; E) = (k2 - k0) x

x J S(k - k') - jj(kr)u,(ko, k, r)dr j

Выражение для ¿-матрицы, определенное заданием off-shell-^-функции, представлено в книге Си-тенко [8].

2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЁДИНГЕРА

Для нахождения однозначного решения радиального уравнения Шрёдингера задают условия на искомую волновую функцию и ее производную в нуле или на ее граничное поведение. Они должны согласовываться с видом потенциала взаимодействия. Имеется определенная трудность при численном решении однородного уравнения для нахождения нерегулярной в нуле функции, линей-нонезависимой по отношению к регулярной функции, поскольку невозможно задать условия в нуле, где нерегулярное решение стремится к бесконечности. Нами предложено задание граничных условий на нерегулярную функцию и ее производную на большом расстоянии, где короткодействующий потенциал достаточно близок к нулю. Соответствующая асимптотика имеет вид

u,(r) Ir > RN = sin 5дг[ ctg 8nG,( ko r) - F,(V)], (16)

где 5N — фазовый сдвиг за счет короткодействующего потенциала, Fl (x) и Gl (x) — регулярная и нерегулярная кулоновские функции соответственно, Rn — радиус короткодействующего взаимодействия, где сшиваются внутреннее и асимптотическое решения. Фазовый сдвиг определяется из регулярного решения уравнения Шрёдингера, которое на расстояниях, где короткодействующий потенциал можно положить равным нулю, имеет вид

u, (r) |r > rn = cos 5n [ F, (kor) + tg 5 nG, (V)]. (17)

В итоге решение x(1) (г), которое на больших расстояниях является расходящейся сферической волной, можно записать в виде

Далее строятся функция Грина (6) и внеэнерге-тическая волновая функция (10). Однако, с практической точки зрения, для экономии времени счета удобнее решать неоднородное уравнение Шрёдингера, заранее вычислив с помощью формулы (10) значения ой^еИ-волновой функции и ее производной в некоторой точке, чтобы задать граничные условия для нахождения однозначного решения дифференциального уравнения (12). Такая схема реализована в нашей программе расчетов. Путем сравнения с решением (10) показана высокая точность совпадения решений, получаемых из решения уравнения (12) и формулы (10).

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Конкретные расчеты выполнены для изобарно-симметричных систем (7Ве, р) и (7Ве, п). В качестве ядерного потенциала взаимодействия был выбран потенциал Вудса—Саксона со спин-орбитальным взаимодействием:

Ум(Г) = -(У0 - У1г(I 3) х

Здесь У0 и Уь характеризуют глубины центрального и спин-орбитального потенциалов соответственно; тп — масса пиона, введенная

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎