Математика как коммуникативные операции

Математика есть социальный дискурс. Этот факт неизбежен, если мы прямо " рассмотрим имеющуюся данность. Перед нами математический аргумент очень небольшой технической сложности: а = Ьх + су а - Ьх - су = О

Приведенная последовательность суждений истинна и осмысленна для меня, лишь поскольку я знаю, что означают используемые символы, и знаю допустимые операции по преобразованию этих символов, такие, что выражение (1) становится выражением (2).

Если — это компонент ковариантного тензора ранга 2, то его ковариант, производный в отношении к х1, представляется как

Теперь сеть математиков становится более ограниченной; на некотором уровне она сводится к сети активно работающих ученых, создающих исследовательский фронт математических истин

Для сравнения рассмотрим утверждение, сделанное в китайской математике — алгебре эпохи Сун (рис. Э.1). Трудность заключается не только в том, что мы (если принадлежим западному миру) не знаем отдельных символов, подобно тому как представители западного мира обычно не могут понять уравнения 4 + 5 = 9, если оно записано так:

Дело в том, что мы не знаем операций, определяющих, как работать с этими знаками. Китайская математика представлялась на счетной доске, разделенной на квадраты (описанные в данном тексте как матрицы 3x3 или 3x4, что зависит от того, какая часть доски использовалась).

Приверженец платонизма сказал бы, что форма данного утверждения нерелевантна, иными словами, вывод одного математического выражения из другого верен независимо от того, записан ли он в виде словесного рассуждения на латыни, в посткартезианской символизации, в сунской алгебре или еще каким-либо образом. Однако платонизм — это лишь теория; в нем предполагается то, что должно быть доказано, — будто математические истины существуют в некотором особом царстве, никак не соотносящемся с человеческой деятельностью по формулированию математических утверждений. Это можно показать с помощью квазиматематического cogito: если я отрицаю, что математическое утверждение должно существовать в форме какого-то конкретного типа дискурса, то в самом высказывании я представляю утверждение в некотором дискурсе. Если я отступаю назад, утверждая, что математика должна быть трансцендентной, поскольку, может быть переведена с одного языка на другой, то я основываю мое утверждение на существовании переводов — операций, соединяющих между собой

несколько дискурсов; такой ход не только не позволяет избежать дискурса, но добавляет еще один его вид[541].

Математика обладает социальной реальностью в том смысле, что она неизбежно является дискурсом в некотором социальном сообществе. Это может показаться каким-то минимальным уровнем реальности. Тем не менее не следует думать, что социальный дискурс не имеет никакого объективного, твердого качества, сильного принуждения того типа, который соответствует понятию «истины». Чтобы показать, почему математический дискурс имеет такое качество, мы должны исследовать отличительные характеристики математических сетей.

Математические сети определенного периода исторически связаны с предшествующими математиками. Дело здесь не только в генеалогической преемственности, типичной для всех творческих интеллектуалов, когда центральная сеть знаменитых творцов одного поколения порождает следующие поколения тех, кто будет делать открытия. Математики особым образом сосредоточены на своей истории, поскольку главный путь математического открытия состоит в превращении в предмет исследования методов, уже использованных на предшествующих уровнях математики (при этом разрабатывается такая символическая система, которая делает явными некоторые ранее молчаливо предполагавшиеся операции), а также в изучении следствий на полученном более высоком уровне абстрактного символизма. В алгебре обобщаются правила арифметики и формулируются методы, которыми могут решаться целые классы арифметических задач. На последующих высших уровнях алгебрь! разрабатываются общие правила разрешимости различных типов алгебраических уравнений. Сходные- последовательности имели место в математическом анализе, теории чисел, геометрии и разнообразных смешанных областях.

В ходе развертывания таких последовательностей создаются новые понятия, в которых обобщаются и суммируются целые области предыдущей работы. Общепринятые алгебраические символы для неизвестных х, у могут означать какое угодно число; на более высоком уровне знак функции f(x) пригоден для обозначения выражений целиком и какой угодно формы. Еще более высокую абстракцию представляют функции функций; таковыми являются группы, кольца, поля и т.

альтернативных арифметик, альтернативных алгебр — короче говоря, к появлению высшей математики.

Математика — самая историчная из дисциплин в том смысле, что ее главной темой является углубление, движение вспять к тому, что считалось само собой разумеющимся в работе предшественников. Не только алгебра предполагает арифметику; также и высшие уровни алгебры, математического анализа и т. д. просто предполагают ранее исследованные более низкие уровни абстракции в соответствующих областях. В каждой точке истории математики символическая система последней отсылает к типам операций, разработанных на более раннем уровне ее развития. Невозможно избежать исторического накопления прошлых результатов, заключенных в значении любого математического выражения. Сама история математики воплощена в таком символизме.

После Декарта машинерия обращения с уравнениями состояла из процедур переноса символов из одной стороны уравнения в другую и перегруппировки членов до тех пор, пока уравнение не примет форму того, что уже следует решать или доказывать. Ключ такого метода — обратимость. Результаты выполнения операций могут быть взяты как начальные точки через приписывание им символов, которыми теперь можно оперировать в данном уравнении. Символические обозначения неизвестных чисел х, у, удовлетворяющих конкретным уравнениям, рассматриваются, как будто они уже известны; таким же способом и выражения любого иного класса, включая то, что должно быть найдено, представляются как некие позиции в уравнении. Работе данной машинерии не мешает наше незнание какого-то конкретного факта; метод символизации целых классов, включающих прошлые результаты, будущие результаты, возможно даже недостижимые или невозможные результаты, позволяет приводить в движение процедуры преобразования уравнений и приходить к заключениям о том, как соотносятся между собой члены уравнений.

В некотором смысле такой способ символизации — это реификация, или овеществление. Используемые элементы рассматриваются здесь как вещи, поскольку они символизируются подобно символическому обозначению вещей; символизация придает видимую твердость этому х или этой функции f(x), что является еще одной попыткой относиться к математическим объектам, как будто они являются платоническими реальностями. Однако такая реификация носит лишь временный характер и делается ради осуществления технологии преобразования уравнений. Система символизации принадлежит продолжающейся истории. Символизация отсылает как назад в прошлое, так и вперед в будущее: назад, поскольку самый очевидный референт (обозначаемый объект) символической позиции принадлежит к тому же типу, что уже был обнаружен на более конкретном уровне. Так, х может быть заменен числом, являющимся решением некоторой арифметической задачи; для f(x) может быть представлен пример конкретного алгебраического выражения. Поскольку данная система символизации имеет

абстрактный и общий характер, она обращена вперед к охватывающим областям математики: не только ко всем конкретным неизвестным, которые могли бы быть заменены каким-либо символом, но и к внешнему пространству абстрактных возможностей во всем семействе родственных операций. На этом пути при разработке новой системы символизации, что всегда означает появление новых систем практики и процедур оперирования группами символов, обнаруживаются новые области для открытий, новые математические уровни, подлежащие изучению. Таким образом, последовательные порядки символизации обращены не только вспять к той предшествующей работе, на которой они основаны, но также и вперед — к новым типам проблем.

Итак, математика социальна в двух смыслах, второй из которых еще сильней первого: прежде всего, каждый, кто причастен к математике, даже на уровне понимания уравнения элементарной арифметики, включен в некую форму социального дискурса и некоторую сеть учителей и исследователей, делающих открытия.

Следует подчеркнуть другой аспект, еще более ярко показывающий, что математика насквозь социальна. Предметом математики являются операции, а не вещи. Математика не является той областью, где исследуется, какие типы вещей существуют в нашем мире либо в каком-то ином мире за пределами этого. Вернемся к нулевому уровню математики — числам. Поскольку некое число может трактоваться как существительное в предложении, поскольку легко полагать число вещью. Однако первоосновой числа является просто счет; он состоит в выполнении жестов, словесных или иных, относительно чего-либо при произнесении последовательности «1,2, 3. ». Ответом на вопрос «сколько?» является число, на котором человек останавливается, когда завершает свое указание жестами на то, что подсчитывает. Числа изначально являются деятельностью (или операцией) перечисления.

В этом отношении числа сходны с другими символами, составляющими человеческий дискурс. Универсальность чисел происходит из их универсального использования, а не из какого-либо характера объектов, для которых они используются. Перечисление — это процесс разделения и указания. Он может быть применен к чему угодно: к материальным объектам, среди которых могут наблюдаться очевидные разделения, но также и к вещам, чьи контуры расплывчаты и изменчивы (к облакам, например), либо же к таким «вещам», которые вообще вещами не являются, но могут быть операциями, абстракциями или воображаемыми предметами. Перечисление — это операция, делающая элементы (единицы) эквивалентными друг другу через их подсчет; они становятся единицами, поскольку к ним относятся как к таковым. Сказанное не означает, что числа иллюзорны. Они реальны как операции, выполняемые человеческими существами,

как деятельность, осуществляемая в каком-то определенном времени и месте. Они также могут быть обобщены и перенесены из одной ситуации в другую, поскольку являются операциями, которые могут применяться вновь и вновь. Общность чисел происходит из того, что они суть операции человеческого дискурса.

Операции математики социальны, начиная от элементарного уровня счета. Дело не просто в том, что мы учимся считать всегда у кого-то другого и что умение считать широко распространено в большинстве обществ. Здесь следует применить принципы социологии мышления. Счет может быть социальной деятельностью в явном виде: я считаю эти вещи, находящиеся перед нами, я предлагав и вам тоже их посчитать или же согласиться с результатами моего счета, поскольку при выполнении тех же самых процедур вы придете к тому же заключению6. Поскольку понятийное мышление интериоризировано из внешнего дискурса и становится осмысленным только благодаря допущению возможности внешней аудитории, мой счет про себя — это также операция в некоторой социальной рамке. Вывод, сделанный ранее, можно в данном случае еще раз повторить: счет ведет к появлению универсалий, поскольку осуществляется в некоторой универсальной позиции — позиции любого человека вообще, который следует данному соглашению, или конвенции, в дискурсе.

То, что было сказано о счете, можно утверждать и о любых более абстрактных формах математики. Арифметика обобщает результаты счета: сложение дает правила сокращения операций, указывая, например, что будет при подсчитывании одной группы вещей, затем другой группы, затем при подсчете их всех сразу и т. д. Элементарная алгебра обобщает результаты решения различных типов арифметических задач. Такова цепочка обобщения и рефлексии от одной формы математики к другой, от операций подсчета к изучению операций над операциями и к дальнейшим замысловатым ступеням абстрактной математики. На каждом уровне в математике исследуются и классифицируются операции. Математики делают операции эквивалентными друг другу, рассматривая ,их как эквивалентные, подчиняя их какому-то систематическому набору операций более высокого порядка. Мы делаем числа эквивалентными в некоторой системе счета, вводя соглашения об их сложении и вычитании. Для математики смешать яблоки с апельсинами — не проблема; математик придумывает какое-нибудь новое понятие для того, что является в них эквивалентным. Причем вовсе не обязательно, чтобы сам эквивалент был «естественным», так сказать понятием in rebus[542] (например, «фрукт» для данного случая), напротив, должна быть лишь такая эквивалентность, которая задается операцией, введенной для обращения с этими предметами.

Если счет состоит в осуществлении ряда жестов, что тем самым конституирует нечто как ряд, то арифметика состоит в выполнении жестов по отношению к числовым операциям, элементарная алгебра — в выполнении жестов по отношению к арифметическим операциям, высшая алгебра — в выполнении жестов по отношению к элементарным алгебраическим операциям, рассматриваемым как эквивалентные.

Эти жесты делаются сообща, причем Тз сообществе математиков. Некто становится членом такого сообщества, усваивая конвенции общения. Социальная структура математики имеет вид пирамиды. В основании находится огромное сообщество всех использующих конвенции счета и арифметики. На каждой ступеньке выше располагаются сообщества все более специализированных и эзотерически мыслящих математиков — сети, в которых коммуникативные операции и конвенции более низкого уровня берутся в качестве предмета абстрагирования и рефлексивного обобщения.

Математические объекты реальны в том же смысле, в каком реально человеческое общение. Речь идет о реальности процессов деятельности реальных человеческих существ, выполняемой во времени и локализованной в пространстве. И это вдвойне мощная, упрямая реальность социального, основанная на широко распространенных соглашениях (конвенциях) дискурса, т. е. на процессах деятельности, выполняемой сообща, что и составляет сообщество как раз из тех людей, кто принимает такие условные (конвенциональные) операции. Можно даже сказать, что здесь имеется втройне мощная реальность, поскольку сеть математиков— это сеть, выросшая вокруг главной деятельности конструирования способов построения метаопераций, предметом которых являются предыдущие операции того же сообщества. t

Устоявшийся в течение долгого времени взгляд на математику как на царство платонистских идеалов ошибочен. Некоторые греческие философы и математики утверждали, что объекты математики должны быть идеальными, поскольку доказываемые в них истины о геометрических фигурах относятся к идеальным окружностям и прямым, а не к несовершенным линиям, начерченным на песке[543].

Другие утверждали идеальность математики, используя в качестве объекта критики эмпиризм; числа — это не вещи, наблюдаемые нами в мире, поскольку именно с помощью чисел мы можем вещи перечислять. В обеих линиях аргументации делается одинаковая ошибка (то же относится и к тем, кто полагает, что математика возникает на основе индукции из опыта восприятия вещей): допускается, что реальность должна состоять либо из субстантивных вещей, либо из самостоятельных идей. Однако математические объекты не являются ни теми, ни другими; они суть символы действий — операций математического дискурса. Универсалии и идеалы — это формы деятельности социального дискурса; они столь же реальны, сколь и сам дискурс, иными словами, столь же реальны, сколь реален обыденный соразмерный человеку мир действия. Нет нужды приписывать их какому-то иному миру.

Другая ошибка состоит в том, чтобы считать математику состоящей из тавтологий. Тождественность между элементами на одной и на другой сторонах математического уравнения — не тот же тип тождественности, которая устанавливается при приписывании чему-либо имени; перед нами не пустая тавтология, примером которой может служить объяснение «тяжести» как «стремления к падению». Математическая эквивалентность и словесная тавтология укоренены в различных языковых играх — в разных системах операций. Произвольные тавтологии обыденного языка никуда не ведут, тогда как математическая процедура— это машина по получению открытий. Машинерия математических уравнений действует в различных направлениях, как замечал Фреге в своем различении смысла и отнесенности к предмету (референции). Устанавливающие эквивалентность математические конвенции приводят к обнаружению последовательных классов абстрактных операций, свойства которых могут изучаться. Конвенции произвольны, но математическое открытие состоит в исследовании неких устойчивых структур, или паттернов, обнаруживаемых при принятии разнообразных типов конвенций. Математика — это особая область эмпирических открытий, причем в той мере, в какой «эмпирическое», или «опытное», означает изучение опыта во времени; именно исследовательский опыт математической сети — вот что предполагается в принимаемых этой сетью конвенциях относительно символических обозначений.

Теории о том, что математика должна быть неким трансцендентным царством платонистских объектов или по крайней мере — собранием априорных истин, заключенных в тавтологиях, привлекательны, поскольку помогают объяснить ощущение того, что математика представляет собой нечто достоверное, что ее результаты обладают такой высокой степенью неопровержимости и истинности, какую только люди могут достичь. Эту достоверность можно объяснить особым социальным характером математических сетей. Поскольку содержание математики выстроено в некую цепь во времени — от самых высоких и утонченных абстракций назад к обычным операциям счета,— можно сказать, что все это

здание внутренне скреплено самым тесным образом. Дело не состоит лишь в том, что результаты лениво переходят от одного поколения к другому как некая устоявшаяся традиционная парадигма, которую никто не удосуживается поставить под вопрос. Напротив, данная связность глубока и неизбежна, поскольку темы все более абстрактной математики были основными моделями операций предыдущего периода развития математики. В математике, в ее процедурах использования символических обозначений воплощена ее собственная история, причем в такой степени, которая не обнаруживается ни в какой иной области. Самый наивный пользователь математических средств приходит к тем же результатам, что и любой другой, поскольку каждый, кто учится следовать данным конвенциям, может повторить соответствующую цепь аргументации. Математика достоверна, поскольку она надежно воспроизводима, что означает воспроизводимость в цепи социальных конвенций.