Есть ли «царская дорога» в математике?

Даже если объяснять с предельной ясностью, кто-то все равно не поймет. Следствие из третьего закона Чизхолма.

Те, кто изучал математику, наверное, помнят о Евклиде (в греческом написании — Eυκλειδης) — авторе фундаментального труда «Начала», в 15 книгах которого изложены аксиоматические основы геометрии (две книги, посвященные многогранникам, иногда приписывают Гипсилу Александрийскому). Предание гласит, что египетский правитель Птолемей I Сотер посетил мыслителя и поинтересовался, существует ли более короткий способ познания геометрии, чем тот, который изложен в «Началах». Ответ древнего мыслителя: «В науке нет царской дороги» — приводят как блестящий аргумент в пользу необходимости приложить немало усилий, чтобы освоить математику или любую другую науку

А разве говорил великий Евклид, что изучение науки должно быть скучным? Конечно, нет. Но на практике получается, что многие предметы, в том числе и математика, ученикам кажутся неинтересными. Почему многие помнят историю про Евклида, а вот что такое логарифм, могут сформулировать с большим трудом? И стоит ли винить в этом нерадивых учеников, среди которых не то что царей, но и царских потомков малая доля?

В 1884 году увидела свет замечательная книга англичанина Эдвина Эббота «Флатландия» («Flatland»), в увлекательной форме рассказавшая о многомерных пространствах. И хотя книга не предлагала «царского пути» в геометрии, она позволяла преодолеть эту дорогу с большими удобствами, чем классические учебники. Вместо того чтобы формулировать теоремы и потом приводить их доказательства, автор создал образ необычной страны, обитатели которой не ведают о трехмерном пространстве так же, как нам не дано увидеть четырехмерный мир. Описание этого необычного государства занимает намного больше места, чем простая фраза вроде того, что «. в четырехмерном пространстве координаты точки задаются четырьмя числовыми значениями». Но зато у читателя появляется наглядное представление о том, как можно изучать четырехмерные пространства. Подчеркиваю, не наблюдать, а изучать. А когда такое представление получено, легче воспринять математический аппарат, который используется в строгом описании многомерных пространств.

Наглядный подход облегчает понимание и других специальных понятий. В математике принято облекать в строгую абстрактную форму довольно простые вещи, которые можно объяснить «на пальцах» даже школьнику начальных классов. К сожалению, то, что просто показать, не всегда легко доказать. В доказательствах не обойтись без развитого и сложного математического аппарата. Так, классическое определение непрерывной функции в математическом анализе выглядит не таким уж и легким:

1. Она определена в точке х0 и некоторой окрестности этой точки.
2. Для любого числа ε > 0 можно указать такое число δ > 0, зависящее от ε, что для всякого х, удовлетворяющего неравенству |х – х0|

Переходя от уравнений к неравенствам, изобразим полуплоскость — множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям

Системы линейных неравенств в геометрической интерпретации могут описывать довольно сложные множества точек на плоскости. Пересечение нескольких полуплоскостей образует выпуклые многоугольники, которые задают множество точек, удовлетворяющих нескольким линейным неравенствам:

В линейном программировании занимаются изучением задачи поиска максимума линейной функции на множестве, образованном линейными неравенствами. Линейная функция, максимум которой ищут, в случае двух переменных выглядит следующим образом:

Если рассмотреть набор параллельных прямых, заданных уравнениями:

в которых значение свободного члена увеличивается (то есть с1 Если существует решение задачи линейного программирования, то оно достигается в одной из угловых точек множества допустимых решений.

В трехмерном пространстве множество условий часто представимо в виде выпуклого многогранника. Целевая функция может достигать своего максимума как в вершине, так и на ребре или даже на целой грани многогранника. Но главный вывод остается неизменным: одна из вершин является решением задачи.

Геометрический способ поиска максимума целевой функции напрашивается сам собой: давайте попробуем последовательно перебрать все вершины многогранника условий. Одна из них и будет являться решением. Возможно, кого-то удивит, что знаменитый симплекс-метод как раз и занимается перебором угловых точек — вершин. Именно этот способ зачастую эффективно используется при обработке многих экономических моделей, сводящихся к задачам линейного программирования.

Понятие ранга матрицы тоже поддается наглядному объяснению. Для этого стоит напомнить, что вектор, координаты которого (a, b) составлены из коэффициентов в уравнении прямой ax + by = c, будет перпендикулярен ей. Обычно строгому доказательству этого факта посвящают целую теорему, но на плоскости это понятно из рисунка.

Для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными строки матрицы образуют два вектора нормалей. Если прямые, соответствующие уравнениям системы, параллельны, то векторы нормалей окажутся на одной прямой (размерность прямой 1). Такую пару векторов называют линейно зависимой.

Для системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными векторы нормалей будут располагаться в трехмерном пространстве. Они линейно зависимы, если лежат вдоль одной прямой (размерность 1), или в одной плоскости (размерность 2).

Строгое определение линейной зависимости менее наглядно:

Ранг матрицы системы линейных уравнений совпадает с размерностью множества, в котором располагаются векторы нормалей. Если все векторы нормалей направлены вдоль прямой, ранг матрицы — 1, если они лежат в плоскости, ранг равен 2. Классическое определение значительно строже, но его наглядность намного ниже:

При изучении высшей алгебры студенты занимаются изучением квадратичных форм n переменных. От выражения, которое предстоит изучать, холодеет в груди:

В матричном виде представление этого «монстра» несколько проще, но наглядности не добавляет:

Здесь = (х1, х2, . хn) — вектор-строка, А — симметричная матрица. Интересно, что в случае двух переменных квадратичная форма имеет вид

Если рассмотреть набор точек, который удовлетворяет равенству

то это будет кривая второго порядка: эллипс, парабола или гипербола, в зависимости от значений коэффициентов квадратичной формы.

В случае эллипса можно подобрать систему координат так, чтобы ее начало располагалось в центре эллипса, а оси координат были направлены по его главным осям. Для перехода к «удобной» системе координат потребуется перенести ее начало и повернуть на некоторый угол координатные оси (такие преобразования относятся к линейным).

В «удобной» системе координат уравнение кривой второго порядка станет намного проще. Для эллипса оно будет выглядеть так:

Такое уравнение эллипса называется каноническим. Размеры полуосей эллипса равны а1 и а2. По сути, каноническое уравнение кривой второго порядка — частный случай квадратичной формы, матрица которой имеет диагональный вид:

Сравните полученный результат с известной теоремой:

В заключение я хотел бы принести извинения за нестрогость многих рассуждений. Главной целью статьи была наглядность. Думаю, что существует множество других интересных примеров, которые помогли бы преодолению совсем не «царской» дороги в математике. Автор будет признателен всем, кто сможет предложить свои примеры наглядного и доходчивого объяснения математических понятий.