7.Метод Ньютона (метод касательных прямых) для уточнения изолированного корня алгебраического или трансцендентного уравнения.

пусть является корнем решения (1) этот корень отделен на отрезке причем не прерывна и сохраняет опред. знаки на отрезке [a,b] найдем какой-либо способ (n-е приближение) к корню.

Тогда точное решение уравнение (1) можно записать как существование некоторого приближения уточним так как функцияf(x) не прерывна на отрезке [a,b], то с учетом равенства (2) можно записать к данному равенству применим формулу Тейлора:

Тогда с учетом равенства (3)+(2) следует:

Геометрически это означает замену небольшой дуги кривой касательной проведенный к некоторой точке кривой по этому метод ньютона называют метод касательных.

Иллюстрация метода Ньютона (синим изображена функция , нуль которой необходимо найти, красным — касательная в точке очередного приближения ). Здесь мы можем увидеть, что последующее приближение лучше предыдущего .

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.

Пусть — определённая на отрезке и дифференцируемая. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:

где — угол наклона касательной в точке .

Следовательно искомое выражение для имеет вид:

Если За взять 0, то точка будет лежать вне отрезка [a,b] за начальное приближение берется та точка значение функции в которой совпадает со значением второй производной этой функции в любой точки отрезка [a,b].

Алгоритм

Задается начальное приближение .

Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или (то есть погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение: .

Метод простых итераций для численного решения алгебраических или трансцендентных уравнений. (Суть метода и геометрическая интерпретация).

Суть метода:

f(х)=0 (1) непрерывная функция заменим эквивалентным уравнением (2).

Выберем каким либо способом грубое приближение корня и обозначим его х0.

Подставим х0 в правую часть уравнения (2), получим х1= , х2= ….. хn= (3)

Если последовательность окажется сходящейся то

Переходя к пределу в равенстве (3), получим Стало быть является корнем уравнения (2) и уравнения (1).

Достаточные условия сходимости метода простой итерации (теоремы, оценки погрешностей).

Теорема сходимости:

Пусть существует функция определена и дифференцируема на отрезке [a,b]. Причем все значения функции принадлежат отрезку [a,b], тогда если существует правильная дробь 0<q<1 такая что для гдеn=0,1,2… сходятся независимо от начального приближения , причем предельное значение и этот корень единственный.

приводя к эквивалентному виду

Обозначим за q=sup

Последовательность приближений хn есть частичные суммы Sn+1 ряда 4

Члены ряда 4 по абсолютной величине начиная с 3, меньше членов арифметической прогрессии со значениями 0<q<1, q;q 2 ;q 3 ;…;q n .

Геометрическая прогрессия является сходящейся, значит существует

В силу непрерывности можно записать , значит этот корень уравнения (2).

Пусть существует которая является корнем (2)

с- внутренняя точка отрезка [a,b].

Константа q – носит название константы Липшиця.

Наша теорема справедлива, если функция будет определена и дифференцируема на интервале (- , + ), но лишь в том случае, когда константа Липшиця .

В условиях теоремы метод итерации сходится для любого х0 [a,b] благодаря чему он является самоисправляющийся, т.е. отдельные ошибки в вычислениях не влияют на результат.

Оценка приближений

Рассмотрим модуль разности известно, что модуль суммы Процесс итерации сходится тем быстрее чем меньшеq.

При желании можно вывести

Замечание: Если q=1\2, то

Процесс итерации следует продолжать до тех пор пока 2 последующих приближений не будет удовлетворять условию

Докажем, что каждое из приближений xn располагается ближе к корню.

т.е. последовательность приближений изменяется монотонно и каждое последующее приближение n располагается ближе к корню .

Теорема сходимости 2:

Пусть определена и дифференцируема на некотором отрезке [a,b], причем х= имеет корень лежащий в более узком отрезке , где тогда если:

, то все последующие приближения будут принадлежать интервалу [a,b], и процесс итерации будет сходится к единственному корню уравнения х= , причем будет выполняться оценка (5).