Чему равен квадратный корень дельта-функции Дирака?

Чему равен квадратный корень дельта-функции Дирака? Определен ли он для функциональных интегралов? Можно ли его использовать для описания квантовых волновых функций?

∫ ∞ - ∞ ж ( Икс ) √ δ ( Икс - а ) d Икс

Артур Суворов

Вы можете думать о распределении Дирака как об элементе некоторой операторнозначной банаховой алгебры. Затем можно использовать исчисление Рисса ( http://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_functional_calculus ) для определения произвольной голоморфной функции этой дельты Дирака (или более общих распределений).

В частности (как и в формуле интеграла Коши) мы имеем для банаховой алгебры A и голоморфная функция f , для а ∈ А :

ф ( а ) = 1 2 π я ∮ ж ( z ) г - а д г ;

Это в принципе можно оценить. Например, вы можете представить дельту Дирака в виде матрицы (если вы думаете о конечных размерах). Интеграция тогда довольно проста (для квадратного корня вы должны установить f ( z ) = z 1 / 2 = e 1 2 журнала ( г ) ). Вы должны быть осторожны с обрезкой ветвей в этом конкретном случае.

Что касается квантовых волновых функций, я не могу сказать. Однако этот инструмент очень полезен для определения операторов Дирака. Например, вы можете рассмотреть алгебру A состоять из дифференциальных операторов некоторой размерности. Взяв оператор Клейна-Гордона ∇ 2 + m 2 можно попытаться определить квадратные корни этого оператора, вычислив приведенный выше интеграл.

Слереа

Я не думаю, что квадратный корень из дельты Дирака хорошо определен. если у вас есть дистрибутив g такое, что g 2 = δ , для чего требуется набор волнового фронта δ быть подмножеством волнового фронта g , что означает, что квадратный корень имеет по крайней мере тот же волновой фронт, что и распределение Дирака, что не позволяет ему быть четко определенным распределением.

загадочныйфизик

Я попытаюсь ответить на вопрос, что такое квадратный корень из дельта-функции , рассказав вам, что он может делать в реальном мире.

Я использовал идею √ дельта определить степенные распределения функций бесконечной энергии (интеграл от квадрата по всем действительным числам), но конечной мощности (энергии в единицу времени). Я уверен, что и другие тоже, но мне пока не удалось найти ни одного примера. Примером такой функции является sin ω т . Его преобразование Фурье — две острые дельты. Энергетический спектр не определен, поскольку требует возведения в квадрат преобразования Фурье. Но на самом деле очевидно, как должен выглядеть спектр мощности — две дельты на ± ω . После долгих вычислений и возни с ограничениями я всегда получаю такой ответ:

р ( ш ) = 1 т | √ δ ∗ F | 2 ,

где F является преобразованием Фурье функции, спектр мощности которой я пытаюсь найти, и τ морально высший круг постоянен. Таким образом, в этом использовании √ дельта используемое в качестве ядра свертки на энергетическом спектре, превращает его в спектр мощности. Попробуйте это на грехе ω т и вы получите двойные дельта-пики и правильную общую мощность. Попробуйте это на гауссовском белом шуме, и вы получите плоскую (но локально конечную) плотность мощности до бесконечности. Он также работает с последовательностью импульсов и произвольными периодическими сигналами.

Я также гораздо менее плодотворно использовал квадратный корень из дельты Дирака для определения интегрируемой с квадратом функции, сосредоточенной в точке. Такую функцию можно было бы использовать для описания состояния квантовой частицы, находящейся в точке, хотя точно так локализовать квантовую частицу невозможно.

доэто

Пространство локально интегрируемых функций плотно в пространстве распределений в топологии, в которой последовательность функций ( f n ) сходится к распределению T если интегралы ∫ f n ϕ d x сходятся к T ( ϕ ) для всех пробных функций ϕ , обычно гладкие функции с компактным носителем. В этом смысле распределение Дирака определяется как δ ( ϕ ) = ϕ ( 0 ) , часто записывается как ∫ f ( x ) δ ( x ) d x = f ( 0 ) .

Это означает, что для оценки распределения мы могли бы взять последовательность обычных функций, сходящихся к нему, и вычислить предел. В нашем случае мы могли бы взять последовательность положительных функций, сходящуюся к дельте Дирака, извлечь их квадратные корни и оценить пределы. Мне кажется, что это идентично 0, не очень полезно.

Это не означает, что в других обобщенных функциональных пространствах этому нельзя придать более полезное значение, см., например, эту статью (pdf) (которую я не читал) с заголовком «Обобщенные функции для приложений» и аннотацию

Дан простой строгий подход к обобщенным функциям, пригодным для приложений. Здесь обобщенная функция определяется как настоящая функция на надмножестве вещественной прямой, так что умножение является неограниченным и ассоциативным, а различные манипуляции сохраняют свой классический смысл. Надмножество строится просто и не требует нестандартной реальной линии Робинсона. Обобщенные функции выходят за рамки распределений Шварца, позволяя обсуждать произведения и квадратные корни дельта-функций.