Нелинейные периодические волны в тонких поверхностно заряженных слоях жидкости. Роль испарения и диссипации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ТОНКИХ ПОВЕРХНОСТНО ЗАРЯЖЕННЫХ СЛОЯХ ЖИДКОСТИ. РОЛЬ ИСПАРЕНИЯ И ДИССИПАЦИИ.

01.04.14. - Теплофизика и теоретическая теплотехника

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ширяева С. О.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дадиванян А. К.

доктор физико-математических наук, профессор Алиев И. Н.

Ведущая организация: Ярославский государственный

Защита диссертации состоится « 3 »^¿^¿^-¿рЛ 2004 года в /У^часов на заседании диссертационного Совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 107005, Москва, ул. Радио, дом 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан « 3 »

Ученый секретарь диссертационного Совета доктор физ.-мат. наук, профессор

Актуальность темы. Исследование устойчивости интенсивно испаряющейся поверхности жидкости имеющей конечную глубину является актуальным для различных разделов технической физики, геофизики, техники и технологии. С этим феноменом приходится сталкиваться в различного вида теплообменниках; конденсаторах холодильных машин и ректификаторах АЭС и ТЭС; в абсорберах бромисто-литиевых холодильных машин, производстве кислот и очищающих фильтрах; в испарителях при опреснении морской воды, производстве йода, брома и капролактама; в электролизерах в амальгамной металлургии, производстве редкоземельных металлов, щелочей и хлора; в кристаллизаторах при производстве льда, парафина и стеариновой кислоты; в струйно-пленочных аппаратах при химическом фрезеровании и закалке металлов; в топках с жидким шлакоудалением; в паровых котлах с кольцевым режимом течения в парогенерирующем канале.

Первые исследования волнового течения в тонких слоях жидкости относятся к середине прошлого века, и до настоящего времени интерес к проблеме не угасает. Особое внимание уделяется изучению устойчивости волнового движения на свободной поверхности жидкости по отношению к поверхностному заряду, что представляет значительный интерес, как для теории грозового электричества, так и для теории магнитогидродинамического преобразования энергии. Большая часть проведенных ранее теоретических изысканий, направленных на изучение неустойчивости заряженной поверхности жидкости, выполнена лишь в линейном приближении по амплитуде возмущения свободной поверхности. В последние годы был опубликован ряд работ, в которых рассматриваются нелинейные периодические волны на заряженной поверхности бесконечно глубокой жидкости.

Влияние глубины жидкости на характер волнового движения в ней и закономерности реализации неустойчивости ее свободной поверхности достаточно хорошо изучено на основе модели капиллярно-гравитационных волн на незаряженной свободной поверхности, однако, большинство работ выполнено в приближении „мелкой воды", и исследование нелинейных волн сводится к выводу нелинейных уравнений, имеющих солитонные решения. Такой подход к изучению нелинейных волн ограничивает взгляд на проблему, в частности, солитон-ное решение не дает поправок к частоте волны, о наличии которых свидетельствуют решения для бесконечно глубокой жидкости.

Аналогичная ситуация сложилась и в вопросе учета вязкости в задачах о периодических волнах на заряженной поверхности жидкости. Механизм реализации неустойчивости плоской однородно заряженной поверхности жидкости бесконечной или конечной глубины с учетом ее реальных физико-химических свойств в линейном приближении изучен достаточно подробно. А исследования нелинейных волн на заряженной поверхности слоя вязкой жидкости в большинстве работ выполнены в приближении „мелкой воды". Упрощения системы гидродинамических уравнений, применяемые в рамках данной модели, не всегда обоснованы, причем значительная часть данных работ направлена на поиск со-литонных решений. В последние годы появились работы^позволяющие корректно учитывать влияние вязкости на

чены строгие решения, определяющие профиль нелинейной периодической капиллярно-гравитационной волны, распространяющейся по заряженной поверхности глубокой жидкости произвольной вязкости.

Таким образом, несмотря на столь разностороннее исследование закономерностей формирования и неустойчивости гравитационно-капиллярных волновых движений, влияние глубины как в случае идеальной, так и в случае вязкой жидкости на распространение нелинейных волн по однородно заряженной поверхности слоя жидкости конечной толщины и на критические условия нестабильности волновых процессов практически не исследовано. Также остается открытым вопрос о влиянии вязкой диссипации на поведение периодических волн и на закономерности реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля.

Цель работы состояла в исследовании поведения периодических волн на поверхности интенсивно испаряющихся тонких слоев жидкости, закономерностей реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля и оценке роли диссипации, связанной с вязкостью и глубиной жидкости, на волновое движение и критические условия возникновения нестабильности.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

- построена математическая модель распространения нелинейных капиллярно-гравитационных волн на заряженной свободной поверхности интенсивно испаряющегося тонкого слоя идеальной жидкости;

- проведен расчет профиля нелинейных волн на поверхности идеальной жидкости и исследовано влияние глубины и поверхностной плотности заряда на их формирование;

- исследовано влияние интенсивного испарения жидкости со свободной поверхностью плоского слоя конечной глубины на закономерности реализации нелинейного периодического волнового движения;

- аналитически исследованы условия реализации неустойчивости заряженной поверхности маловязкой жидкости в линейном приближении по амплитуде возмущения;

- получено корректное выражение для профиля нелинейной капиллярно -гравитационной волны на поверхности однородно заряженного слоя жидкости произвольной вязкости;

- исследовано влияние вязкости и глубины жидкости на характер волнового движения.

Научная новизна работы состоит в том, что

- впервые построена математическая модель распространения нелинейных волн на заряженной поверхности интенсивно испаряющегося слоя идеальной жидкости конечной глубины, которая позволила получить нелинейную по амплитуде волны поправку к частоте этих волн;

- показано, что профили периодических капиллярно-гравитационных волн на поверхности однородно заряженного тонкого слоя идеальной несжимаемой электропроводной жидкости не являются стационарными, что объясняется наличием нелинейной поправки к частоте;

- обнаружено, что положения внутренних нелинейных резонансов во взаимодействии гравитационных и капиллярных волн существенно зависят от толщины слоя жидкости и величины поверхностного заряда;

- впервые в строгой аналитической процедуре получено выражение для профиля нелинейной периодической капиллярно-гравитационной волны, распространяющейся по поверхности жидкости произвольной вязкости, которое пригодно для жидких слоев любой толщины;

- показано, что вязкость жидкости приводит к смещению положений внутренних нелинейных резонансов и к более быстрому затуханию нелинейных поправок к линейным компонентам решений, не сказываясь, однако, на критических условиях реализации неустойчивости по отношению к поверхностному заряду.

Научная и практическая ценность заключается в том, что проведенные исследования позволяют лучше понять физическую природу явлений, связанных с диспергированием жидкости под влиянием электрического поля. Оценка роли диссипации, связанной с вязкостью и глубиной жидкости на распространение капиллярно-гравитационных волн по заряженной поверхности и критические условия реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля вносит вклад в теорию грозового электричестваи магнитогидродинамического преобразования энергии, изучение феномена «огней Св. Эльма».

Полученные результаты также представляют интерес для многочисленных приложений рассматриваемых явлений в различных разделах технической физики и технологии. В частности, это относится к проблеме поиска новых перспективных методов, связанных с электростатическим диспергированием лакокрасочных материалов, горючего и инсектицидов, при проектировании жидко-металлических источников ионов. В последнее время интерес к явлению электрогидродинамической неустойчивости свободной поверхности жидкости слоев связан с разработкой новых средств масс-спектрометрического анализа нелетучих и органических веществ, реактивной космической техники, химической технологии, элекрокаплеструйной печати.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель распространения нелинейных капиллярно-гравитационных волн на заряженной свободной поверхности интенсивно испаряющегося тонкого слоя идеальной жидкости.

2. Расчет профиля волн и анализ волнового движения на поверхности жидкости в рамках построенной модели.

3. Исследование влияния интенсивного испарения жидкости со свободной поверхностью плоского слоя конечной глубины на закономерности реализации нелинейного периодического волнового движения.

4. Расчет спектра капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности тонкой пленки маловязкой жидкости и оценка влияния глубины и вязкости жидкости на критические условия реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля.

5. Математическая модель распространения нелинейных волн на поверхности интенсивно испаряющегося слоя электропроводной жидкости произвольной вязкости.

6. Исследование влияния вязкости на профиль волны, распространяющейся по поверхности несжимаемой однородно заряженной жидкости конечной глубины.

Апробация работы. Результаты работы опубликованы в пяти журнальных статьях и в тезисах шести докладов. Основные результаты работы обсуждались на:

- международной конференции молодых ученых «Молодая наука» (Иваново, 2001);

- III областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии» (Ярославль, 2002);

- XX и XXI научных конференциях стран СНГ «Дисперсионные системы» (Одесса, 2002,2004);

- V Российской конференции по атмосферному электричеству (Владимир,

- всероссийской научной конференции посвященной 200-летию Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003).

Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 184 страницы состоит из введения, четырех глав, заключительного раздела «Результаты и выводы», списка литературы из 169 наименований, четырех приложений и содержит 24 рисунка.

ВО ВВЕДЕНИИ обоснованы актуальность исследуемой проблемы, цели, научная новизна и практическая ценность работы, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

ПЕРВАЯ ГЛАВА диссертации представляет собой литературный обзор. В первой части обзора рассматриваются особенности экспериментального и теоретического исследования устойчивости волновых течений горизонтальных и наклонных тонких слоев жидкости, находящихся в гравитационном и электрическом полях. Показано, что большая часть корректных результатов, полученных в данной области, относится к задачам первого порядка малости по амплитуде осцилляции свободной поверхности, решенным в приближении идеальной жидкости. Немногочисленные корректно решенные задачи о нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волнах: волнах Стокса, волнах Герст-нера, также выполнены в приближении идеальной жидкости. А учет вязкости в задачах о расчете движения жидкости со свободной поверхностью до недавнего времени был корректно проведен лишь в линейном приближении по амплитуде. Во второй части основной акцент сделан на обоснование возможности строго учета вязкости в задачах о нелинейных капиллярно-гравитационных волнах и на

отыскании строгого решения задачи о нелинейных периодических волнах на заряженной свободной поверхности слоя вязкой жидкости конечной глубины без введения дополнительного требования малости толщины слоя по сравнению с длиной волны. Приведен анализ существующих методов учета вязкости в задачах о нелинейных колебаниях свободной заряженной поверхности жидкости, а также рассмотрены задачи из смежных областей, в которых реализуются идеи и алгоритмы, дающие строгое решение интересующей задачи и допускающие непрерывный предельный переход к тонким слоям.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена теоретическому моделированию нелинейных периодических волн на заряженной интенсивно испаряющейся поверхности тонкого слоя идеальной жидкости. Рассуждения проводились для упрощенной физической модели, в которой рассматривалась идеальная несжимаемая жидкость с плотностью р, с коэффициентом поверхностного натяжения О"0, заполняющая в поле сил тяжести бесконечный в горизонтальном направлении слой в декартовой системе координат, орт которой направлен противоположно ускорению силы тяжести Жидкость - идеально электропроводная и находится в электростатическом поле с напряженностью . Температура жидкости принимается такой, чтобы на свободной поверхности шло интенсивное испарение. В итоге кроме сил лапласовского давления Ра и давления электростатического поля поверхностного заряда имеет место, в силу реактивного эффекта, давление испаряющегося пара которое в соответствии с классическими представлениями зависит от средней кривизны поверхности:

где - газовая постоянная; - молекулярный вес пара; - плотность пара; Р^ - давление насыщенного пара на бесконечности; Г - средний радиус кривизны поверхности в данной точке, определяемый равенством

Предполагается, что по поверхности слоя жидкости в положительном направлении оси Ох распространяется плоская бегущая волна малой амплитуды а с волновым числом к. Математическая модель однородна по координате у и, следовательно, все переменные в задаче зависят только от координат и времени А все физические параметры жидкости и окружающей ее среды — - считаются постоянными величинами.

Целью решения задачи являлось определение аналитического выражения для профиля нелинейной бегущей волны на заряженной свободной

поверхности слоя идеальной жидкости конечной глубины в четвертом порядке малости по амплитуде, которая считается малой по сравнению с длиной волны, и нелинейной поправки к частоте, не изменяющейся во времени. В результате

методом разложения неизвестных величин по малой амплитуде волнового возмущения а и методом многих масштабов теории возмущений было получено выражение для £

+ 2 а2 Q • Cos [20 + 2Хг, • a 2t]+ 2 а1, • Cos [!W], где частота СО определяется из дисперсионного выражения

бй2=[к + кг -Wk2)-Th[kh0l a W = 4я%2¡-Jpg&o

безразмерный параметр Тонкса-Френкеля, характеризующий устойчивость свободной поверхности жидкости по отношению к поверхностному заряду. Безразмерные амплитудные коэффициенты в слагаемых второго и третьего порядка малости определяются выражениями:

])2 -Th[2kh0] + 4Cth[kh0]) -l6-Th[2khJ\l + 4k2-2Wk) '

^33 = (a2 к • Cth [3 к h 0] • (- 3 к ■ Cth [2 к h 0] • Cth [k h 0] +12 Я • Cth [2 к A0] +

H Л1ГИ l ЛЛ r\ , IWk* , 1ЛИГ/ ,i.

+ 4 <у2 к П • СЛ [2 к А 0] • ОА [к А 0] - <и4 к2- (Ой [к к 0])2-ОА [2 Л: А 0])/ (12ю2-ОА[3*:А0]-4£-36*3+12ЖА:2),

безразмерный множитель Х3] нелинейной поправки к частоте задан равенством:

Полученное выражение для профиля нелинейной волны £ в пределе при А0—>оо совпадает с решением для бесконечно глубокой жидкости, а при IV —>0 переходит в выражение для профиля нелинейной капиллярно-гравитационной волны на незаряженной поверхности слоя идеальной жидкости конечной толщины. Несмотря на то, что выражение для £ применимо в широком диапазоне волновых чисел, амплитудные множители П и ^^ неограниченно нарастают, когда

п-Тк[кк0]-(\ + к2-1¥к)-Щпкк0]-(1 + п2к2-пПгк) = О,

£2 имеет резонанс при п= 2, а Ч^з — два резонанса при п

2 и 3. Это означает, что применимость полученного выражения для профиля нелинейной волны ограничена в окрестности волновых чисел определяемых из данного уравнения, так как амплитудные коэффициенты должны быть малыми поправками к величинам первого порядка малости. Положения внутренних нелинейных резо-нансов во взаимодействии гравитационных и капиллярных волн существенно зависят от толщины слоя жидкости и величины поверхностного заряда, причем влияние поверхностного заряда усиливается с уменьшением толщины слоя жидкости.

Анализ приведенного выше выражения для показал, что профиль волны не является стационарным, это объясняется наличием нелинейной добавки к частоте

а2 -Х^. Говорить о стационарном профиле можно только в том случае, если ограничить расчеты вторым порядком малости, так как уже при решении задачи в третьем порядке нелинейная поправка появится в

линейном по амплитуде слагаемом, а при решении в четвертом - и в квадратичном. Поправка к частоте колебаний компоненты

Рис 1а Зависимость безразмерного множителя при нелинейной поправке к частоте колебаний от безразмерного волнового числа к и параметра Тонкса-Френкеля W при глубине жидкого слоя Й0=1.

£ третьего порядка малости будет модифицировать это слагаемое на величину

порядка 0(а5), а так как в данную задачу не входит учет величин такого порядка, то в кубическое по малому параметру слагаемое входит невозмущенный аргумент 9.

Нелинейная поправка к частоте а2 • Х31, также как и амплитудные множители П и ¥33, имеет резонансный вид. Безразмерный коэффициент Х31, аналогично будет резонансно нарастать в окрестности волновых чисел, определяемых из уравнения

Л гот,\ ТТ.Г..Г, Л 1 /1 , „2.2

при п — 1. Для бесконечно глубокой жидкости нелинейная добавка к частоте, пропорциональная квадрату амплитуды, имеет резонанс при к2—^ — . Из рисунков 1а. — 1Ь., на которых представлены графики зависимости X 31=Х3[(Ж,к) при к 0= 1 и 5, видно, что для жидкости конечной толщины резонансное нарастание Х31 при различных значениях параметра Тонк-са-Френкеля Ж и безразмерной глубины слоя жидкости соответствует различным значениям волнового числа к. Причем с увеличением глубины жидкости резонансное нарастание при различных значениях будет определяться более узким диапазоном волновых чисел.

Критические условия реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля определяются из условий равенства нулю квадрата частоты

Рис. 1Ь. Зависимость безразмерного множителя при нелинейной поправке к частоте колебаний от безразмерного волнового числа к и параметра Тонкса-Френкеля \¥ при глубине жвдкого слоя

колебаний СО и первой производной от частоты по да

волновому числу-. При решении задачи в линейном приближении для бес-

конечно глубокой жидкости и тонкого слоя, когда принимается

значительно меньше единицы, критические значения равны, соответст-

венно, 2 и 1. Для жидкости конечной глубины, при к h 0

1, критические условия реализации неустойчивости будут определяться из равенства

2-j(k + k3-Wk2)-Th[kh0] Тогда для критического значения параметра Тонкса-Френкеля имеем _