Пример расчета криволинейного стержня (задача № 27)
Рассмотрим стержень, показанный на рис. 4.51. Определим максимальные нормальные напряжения в криволинейной части стержня, если м, м, кН, кН×м. Стержень имеет прямоугольное поперечное сечение с высотой м, отношение . Найдем также горизонтальное перемещение левой подвижной опоры.
Рис. 4.52. Определение внутренних усилий
Прежде всего, построим эпюры внутренних усилий в стержне. Сначала определим опорные реакции обычным путем, составляя три уравнения равновесия. Найденные опорные реакции показаны на рис. 4.52. Для определения внутренних усилий рассечем стержень на трех участках. На прямолинейной части фиксируем сечение координатой х, на криволинейной части – углом (см. рис. 4.52). В соответствии с методом сечений находим усилия, рассматривая все силы с одной стороны от сечения:
По этим выражениям строим эпюры N, Q и М. В криволинейной части стержня считаем величины усилий, задавая значения (или ) через определенные промежутки (например, через 30°). Внесем результаты вычислений в таблицу (табл. 3).
Отложим значения усилий в криволинейной части стержня в радиальном направлении, соединим ординаты плавными кривыми и получим эпюры N, Q и М (рис. 4.53). Эпюры штрихуем в радиальном направлении. Заметим, что так же, как и в прямолинейных стержнях, в сечении, где Q = 0, на эпюре М имеет место экстремум. Найдем экстремальное значение момента:
В сечении действует так же продольная сила N = – 44,7 кН.
Построим эпюру нормальных напряжений, определив значения напряжений в трех точках (a, b, c на рис. 4.54) опасного сечения по формуле (4.39), добавив в нее напряжения от продольной силы. Так как рассматриваемый криволинейный стержень является стержнем средней кривизны (R/c = R . 2/h = 4/0,8 = 5), то допустимо искать величину по приближенной формуле (4.40)
Рис. 4.53. Эпюры внутренних усилий
В точке a координата м и напряжение в этой точке
= (– 140 + 1027)10 –4 = 0,0887 кН/см 2 .
Аналогично в точке b м и
Наконец, в точке с, находящейся в центре тяжести сечения, напряжение
Эпюра напряжений построена на рис. 4.54.
Найдем напряжения в точках а и b по формуле для прямолинейных стержней
и сравним их с напряжениями, вычисленными по формуле для криволинейных стержней.
кН/м 2 = 0,102 кН/см 2 ;
кН/м 2 = – 0,130 кН/см 2 .
Разница между напряжениями, вычисленными по разным формулам, составляет около 15 %. Напомним, что в рассматриваемом стержне отношение . Разница между напряжениями, вычисленными по разным формулам, уменьшается с увеличением отношения . Для стержней малой кривизны ( ) можно вычислять s по теории прямолинейных стержней.
Найдем теперь горизонтальное перемещение левой опоры. Для этого приложим в точке А горизонтальную единичную силу (рис. 4.55), найдем опорные реакции и запишем выражения для продольной силы и изгибающего момента, вызванных этой единичной силой, на каждом участке:
Рис. 4.55. Стержень под действием единичной силы, соответствующей горизонтальному перемещению точки А
При определении перемещений используем формулу (4.42) для прямолинейных стержней. Подставим в нее выражения для продольной силы и изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичной силы и, принимая во внимание, что на прямолинейном участке интеграл в рассматриваемом примере равен нулю и , получим
Используя известные значения определенных интегралов
Как легко выяснить, числитель первого слагаемого измеряется в кН×м, а числитель второго – в кН×м 3 . Найдем жесткости стержня при растяжении и изгибе:
и сосчитаем горизонтальное перемещение точки А:
Первое слагаемое в сумме показывает вклад продольной силы в перемещение. Видно, что он незначителен.
В заключение найдем горизонтальное перемещение точки А по формуле для криволинейных стержней (4.41). Сосчитаем значение третьего интеграла в (4.41):
Таким образом, по формуле для криволинейных стержней
Полученный результат показывает, что влияние кривизны стержня на перемещение меньше 3 % и значительно меньше, чем влияние на напряжения. Поэтому для стержней малой и средней кривизны при определении перемещений можно использовать формулу Максвелла – Мора, относящуюся к прямолинейным стержням и учитывающую влияние на перемещения только изгибающего момента.
1. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995.
2. Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977.
3. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989.
4. Сопротивление материалов: Метод. указания и схемы заданий к расчетно-графическим работам для студентов всех специальностей / СПбГАСУ; Сост: И. А. Куприянов, Н. Б. Левченко, Г.С. Шульман. СПб., 2010.
5. Сопротивление материалов: Учебное пособие по выполнению расчетно-графических работ. Ч. 1. / Н. Б. Левченко, Л. М. Каган-Розенцвейг, И. А. Куприянов, О. Б. Халецкая. СПбГАСУ; СПб., 2011.
Дополнительная
6. Камерштейн А. Г., Рождественский В. В., Ручинский М. Н. Расчет трубопроводов на прочность: Справочная книга. М.: Недра, 1969.
7. Беляев Н. М. Сопротивление материалов. М., 1976.
Общие указания по выполнению расчетно-графических работ.
4. ИЗГИБ.
4.1. Расчет статически определимых балок.
Примеры решения задач.
4.1.1. Определение внутренних усилий в балках (задачи № 12–15).
4.1.2. Проверка прочности балок при плоском поперечном изгибе (задачи № 16–19).
4.1.3. Определение перемещений и проверка жесткости балок (задачи № 19, 20).
Примеры решения задач
Определение перемещений в балках аналитическим способом.
Определение перемещений в балках методом Максвелла – Мора.
4.2. Расчет статически определимых рам.
Примеры решения задач.
4.2.1. Определение внутренних усилий в рамах (задачи № 21, 22).
4.2.2. Определение перемещений в рамах (задачи № 21, 22).
4.3. Расчет статически неопределимых балок и рам.
Примеры решения задач.
4.3.1. Расчет статически неопределимой балки (задача № 23).
4.3.2. Расчет статически неопределимой рамы (задача № 24).
4.4. Расчет плоского трубопровода на температурное воздействие и внутреннее давление.
Пример расчета трубопровода (задача № 26).
4.5. Определение напряжений и деформаций в криволинейном стержне.