Моделирование процессов оптимального распределения ресурсов на основе решения антагонистических игр тема диссертации по экономике, полный текст автореферата

Автореферат диссертации по теме "Моделирование процессов оптимального распределения ресурсов на основе решения антагонистических игр"

На правах рукописи

СИГАЛ АНАТОЛИЙ ВИКТОРОВИЧ

ОПТИМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ АНТАГОНИСТИЧЕСКИХ ИГР

08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора экономических наук

Работа выполнена в лаборатории «Системный анализ эффективности естественных монополий» Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института системного анализа Российской академии наук

ТТацпиий Ь'пимгт.твнг' ТТпитпп Пр-люм:!'.» ТТагиппиа ---—------------------------ - » ------------------------ , . .-------доктор экономических наук, профессор Официальные оппоненты: Суслов Виктор Иванович,

доктор экономических наук, профессор, член-корреспондент РАН, Институт экономики и организации промышленного производства СО РАН, заместитель директора по науке, заведующий лабораторией моделирования и анализа экономических процессов

Лебедев Валерий Викторович,

доктор экономических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Государственный университет управления», кафедра математики, заведующий кафедрой Жуковский Владислав Иосифович, доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Факультет вычислительной математики и кибернетики, кафедра оптимального управления, профессор кафедры

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем управления имени В. А. Трапезникова РАН

защита состоится «о» июня ¿01 э года б 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.086.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте системного анализа Российской академии наук (ИСА РАН) по адресу: 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9, конференц-зал, 1-й этаж.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСА РАН.

Электронные версии диссертации и автореферата и объявление о защите диссертации размещены на официальном сайте ИСА РАН http://www.isa.ru.

Электронная версия автореферата отправлена для размещения на официальном сайте ВАК Министерства образования и науки РФ по адресу referat_vak@mon.gov.ru «27» февраля 2015 г. http://vak2.ed.gov.ru/catalogue/details/191358

Отзывы на автореферат, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 9, ИСА РАН, диссертационный совет.

Автореферат разослан «21» апреля 2015 г. Ученый секретарь

диссертационного совета, ¿глуу^уС^"

кандидат экономических наук т^/^^'Ч* В.Н. Рысина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Экономика представляет собой динамическую, слабо структурированную сложную систему, которая состоит из многих элементов, в т.ч. из большого количества находящихся в тесном, непрерывном взаимодействии экономических систем (ЭС), т.е. домашних хозяйств, предприятий всех организационно-правовых форм, корпораций, объединений, союзов. Повышение качества принятия управленческих решений в экономике требует учета таких особенностей экономики, объективно существующих и внутренне присущих ей, как случайность, хаотичность, неполнота информации, неопределенность, конфликтность, конкуренция, противоречивость, альтернативность, многокритериальность и обусловленный ими экономический риск (ЭР).

Следует отметить, что инструментарий теории игр и статистических решений, традиционно применявшийся для моделирования экономики, не рассчитан на условия постоянно меняющейся среды функционирования, на последствия и, особенно, причины кризиса, начавшегося в мировой экономике в 2008 году, на геополитические риски, возникшие как в отечественной, так и в мировой экономике после социально-политического кризиса, начавшегося на Украине в конце 2013 года, а также на особенности нестационарной экономики, типичной для экономик всех постсоветских государств.

Внедрение новых теоретико-игровых подходов, позволяющих моделировать процессы принятия управленческих решений в экономике с учетом неполноты информации, неопределенности, конфликтности и ЭР, приводит к выбору наименее рискованных решений, что позволяет стабилизировать результаты деятельности ЭС, добиться устойчивости функционирования как отдельно взятой ЭС, так и экономики страны в целом и, таким образом, способно внести определенный вклад в экономическое развитие страны.

Степень научной разработанности темы. Вопросы теории игр, теории принятия статистических решений, применения этих теорий в экономических исследованиях рассматривались в работах таких зарубежных и российских авторов, как Д. Блекуэлл, Э. М. Вайсборд, А. Вальд, А. А. Васин, Ф. Вега-Редондо, Э. Й. Вилкас, Дж. Д. Вильяме, Н. Н. Воробьев, Ю. Б. Гер-мейер, Р. Гиббоне, М. А. Гиршик, В. А. Горелик, М. В. Губко, В. И. Жуковский, Ю. П. Иванилов, С. Карлин, А. Келли, А. Ф. Кононенко, К. Н. Кудрявцев, А. В. Лотов, Р. Д. Льюс, Р. Б. Майерсон, Е. 3. Майминас, Л. Мозес, О. Моргенштерн, В. В. Морозов, Э. Мулен, Дж. фон Нейман, Д. А. Новиков, X. Райфа, Ф. С. Роберте, М. Е. Салуквадзе, Л. В. Смирнова, Р. И. Трухаев, Дж. Харшаньи, Н. Н. Ченцов, Г. Чернов, А. А. Чикрий, А. Г. Чхартишвили, Л. Шепли, М. Шубик и др.

Проблематика совершенствования систем управления на основе применения рискологии, т.е. теории ЭР, в т.ч. анализа, моделирования, управления ЭР и оценки его уровня, освещена в работах таких зарубежных исследователей, как К. Александер, Т. Бачкаи, С. Б. Братанович, А. Вальд, П. И. Вер-ченко, В. В. Витлинский, И.В.Волошин, X. ван Грюнинг, А. Дамодаран, А. Б. Каминский, К. Ф. Ковальчук, Б. Койли, Г. М. Маркович, А. В. Матвий-чук, Д. Месена, Д. Мико, П. Дж. Мур, Ф. X. Найт, Т. Райе, Г. Райфа, С. К. Ра-

мазанов, К. Рэдхэд, Е. Сеп, П. Фишберн, Э. Холмс, Э. Хусти, С. Хьюз, А. И. Ястремский и др.

К российским исследователям, посвятившим свои работы различным аспектам рискологии, относятся А. М. Дубров, В. И. Жуковский, В. В. Кара-сев, Н. В. Князевская, В. С. Князевский, А. Ф. Кононенко, Б. А. Лагоша, А. А. Лобанов, Т. Н. Первозванская, А. А. Первозванский, Н. Я. Петраков, Б. А. Райзберг, М. А. Рогов, В. И. Ротарь, Е Д. Соложенцев, Н. В. Степанова, Р. И. Трухаев, А. Д. Холезов, Е. Ю. Хрусталев, М. В. Чекулаев, А. В. Чуту-нов, В. В. Чумаков, О. Ю. Шибалкин, А. Г. Шоломицкий, Д. Б. Юдин и др.

Проведенный в диссертационной работе анализ литературных источников по проблемам теоретико-игрового моделирования экономики и риска, имеющих к настоящему времени существенное теоретическое и практическое значение, показывает определенную непроработанность спектра проблем, связанных с методологическим обеспечением корректного теоретико-игрового моделирования процессов принятия управленческих решений в экономике, в частности, не проработаны методология и методы адекватного и наиболее полного учета нестационарности, случайности, хаотичности, неполноты информации, неопределенности, конфликтности, конкуренции, противоречивости, альтернативности, многокритериальности и обусловленный ими ЭР. Кроме того, возможности применения теории антагонистических игр (АИ) в экономике существенно шире ее приложений, разработанных до настоящего времени в исследованиях по теоретико-игровому моделированию экономики. Эти обстоятельства определили выбор темы и направление научного исследования работы.

Объект исследования — ЭС, прежде всего, предприятия всех организационно-правовых форм, сфера деятельности которых влечет необходимость принятия решений об оптимальном распределении ресурсов (ПРОРР).

Предмет исследования — процессы принятия управленческих решений в экономике, в частности, процессы ПРОРР, на различных уровнях управления ЭС, в которых принятие управленческих решений основано на комбинированном применении статистических и антагонистических игр.

Цель н задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка новой концепции применения антагонистических игр в экономических исследованиях, прежде всего концепции моделирования процесса ПРОРР, основанной на комбинированном применении статистических и антагонистических игр.

Предлагаемую концепцию от других подходов, применяемых для теоретико-игрового моделирования экономики, отличают следующие особенности. Во-первых, предлагаемая концепция моделирования процессов ПРОРР нацелена на принятие оптимальных решений с учетом неполноты информации, неопределенности, конфликтности и ЭР. Во-вторых, предлагается комбинированное применение статистических и антагонистических игр совместно с другими разделами математики, в частности, с энтропийным подходом, нечеткой математикой, теорией вероятностей и математической статистикой, теорией случайных процессов, прикладной статистикой и эконометрией, конкретной математикой. В-третьих, предлагается комбинированное применение статистических и антагонистических игр и в тех случаях, когда соот-

ветствутощая АИ не является непосредственной моделью рассматриваемого процесса принятия управленческих решений, при этом уделяется внимание анализу и обоснованию математической корректности, экономической корректности, экономической целесообразности и экономической эффективности управленческих решений, реализуемых лицом, принимающим решения (ЛПР).

Суть комбинированного применения статистических и антагонистических игр заключается в отождествлении исходной статистической игры, моделирующей процесс принятия управленческих решений, с АИ, характеризующей процесс принятия управленческих решений, т.е. с АИ, платежная матрица которой совпадает с функционалом оценивания исходной статистической игры.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи.

1. Исследовать проблемы моделирования процессов принятия решений в экономике и проанализировать применяемый инструментарий.

2. Обосновать возможность, целесообразность и эффективность комбинированного применения статистических и антагонистических игр для моделирования процессов принятия управленческих решений в экономике.

3. Исследовать особенности истории возникновения теории игр и ее приложений в экономике.

4. Проанализировать вопросы корректности комбинированного применения статистических и антагонистических игр для моделирования процессов принятия управленческих решений в экономике.

5. Обосновать соответствие комбинированного применения статистических и антагонистических игр для моделирования процессов принятия управленческих решений в экономике основным положениям принципа системности.

6. Сформулировать предпосылки корректного комбинированного применения статистических и антагонистических игр.

7. Уточнить классификацию антагонистических игр, а также классифицировать информационные ситуации относительно неполноты информации, а именно, относительно неопределенности истинных значений неизвестных элементов платежной матрицы игры. Разработать набор простейших методов, позволяющих преодолеть неполноту информации при решении неоклассических антагонистических игр, т.е. игр, заданных частично известной платежной матрицей.

8. Разработать общую схему комбинированного применения статистических и ан тагонистических игр для моделирования процессов ПРОРР.

9. Разработать схему комбинированного применения статистических и антагонистических игр совместно с различными разделами математики, в частности с энтропийным подходом, нечеткой математикой, конкретной математикой, прикладной статистикой и экономзтрией, теорией случайных процессов для моделирования процессов ПРОРР.

10. Разработать теоретико-игровую модель дефолта экономической системы.

11. Разработать теоретико-игровую модель интегральной оценки потенциала предприятия.

Область исследования диссертационной работы соответствует требованиям следующих пунктов паспорта специальности 08.00.13- «Математические и инструментальные методы экономики»:

Раздел 1 «Математические методы»

1.1. «Разработка и развитие математического аппарата анализа экономических систем: математической экономики, эконометрики, прикладной статистики, теории игр, оптимизации, теории принятия решений, дискретной математики и других методов, используемых в экономико-математическом моделировании» (в части разработки концептуальных принципов и понятийного аппарата теории неоклассических антагонистических игр).

1.2. «Теория и методология экономико-математического моделирования, исследование его возможностей и диапазонов применения: теоретические и методологические вопросы отображения социально-экономических процессов и систем в виде математических, информационных и компьютерных моделей» (в части разработки концепции комбинированного применения статистических и антагонистических игр для моделирования процессов принятия управленческих решений в экономике, а также разработки теоретико-игровых методов и моделей принятия управленческих решений в различных сферах экономической деятельности).

1.4. «Разработка и исследование моделей и математических методов анализа микроэкономических процессов и систем: отраслей народного хозяйства, фирм и предприятий, домашних хозяйств, рынков, механизмов формирования спроса и потребления, способов количественной оценки предпринимательских рисков и обоснования инвестиционных решений» (в части разработки теоретико-игровых моделей оптимизации структуры портфеля в условиях неполноты информации, теоретико-игровых моделей упорядочивания ЭС и проектов по уровню их надежности, а также разработки теоретико-игровых методов построения прогнозов и теоретико-игрового метода интегральной оценки потенциала предприятия).

1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и акту арных расчетов» (в части разработки теоретико-игровых моделей принятия кредитных решений).

1.8. «Математическое моделирование экономической конъюнктуры, деловой активности, определение трендов, циклов и тенденций развития» (в части разработки теоретико-игровой модели дефолта ЭС и анализа цикличности развития экономики).

1.10. «Разработка и развитие математических моделей и методов» (в части формулирования и доказательства отдельных утверждений о свойствах игр некоторых классов).

Теоретико-методологическую основу исследования составили положения и принципы теории игр и статистических решений, системного анализа, управления социально-экономическими системами, экономической кибернетики, экономико-математического моделирования, рискологии и разработанные на их основе теоретико-игровые модели и методы принятия управленческих решений в экономике.

Для решения АИ, характеризующих ситуации прииятия управленческих решений в экономике, применялись графоаналитический метод решения, приведение игры к симметричной паре взаимно-двойственных задач линейного программирования, при этом для решения задач линейного программирования применялся симплексный метод. Для оценки значений неизвестных элементов платежной матрицы применялись методы теории вероятностей, интерполяция, экстраполяция, методы регрессионного анализа и прогнозирования, методы дефаззификации нечетких множеств. Кроме того, при решении отдельных игр, характеризующих ситуации принятия управленческих решений в экономике, применялись анализ ранговых корреляций, методы исследования стационарного режима цепей Маркова, методы конкретной математики, связанные с использованием целочисленных функций.

Информационной базой исследования являются научные исследования российских и зарубежных ученых в области теории игр и статистических решений, рискологии, теории энтропии, нечеткой математики, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, прикладной статистики и эконометрии, конкретной математики и их приложений в экономике, а также материалы экспертно-аналитических центров, ресурсов сети Интернет и собственных исследований автора.

Обоснованность и достоверность научных положении и результатов исследования обеспечивается научной методологией исследования, использованием апробированных научных достижений в исследуемой области и методов экономического и системного анализа, последовательным подходом к решению поставленных задач, обсуждением полученных результатов на многочисленных украинских, российских и международных научных и научно-практических конференциях.

Научная новизна исследования состоит в теоретическом обосновании, разработке и формулировании концепции комбинированного применения статистических и антагонистических игр, включающей предпосылки корректного комбинированного применения статистических и антагонистических игр, принципы построения платежной матрицы, возможные экономические интерпретации решения игры, характеризующей процесс принятия управленческих решений в экономике, а также теоретико-игровые методы и модели принятия управленчески?: решений в различных сферах экономической деятельности, что обеспечивает принятие управленческих решений, адекватно учитывающих неполноту информации, неопределенность, конфликтность и экономический риск.

В работе впервые осуществлено моделирование процессов принятия управленческих решений о рациональном распределении ресурсов на основе комбинированного применения статистических и антагонистических игр. На основе результатов исследования выработана система методологических принципов, методов, формальных моделей и практических рекомендаций, направленных на повышение эффективности управленческих решений и функционирования экономических систем.

Непосредственной научной новизной обладают следующие результаты, вынесенные на защиту:

1. Обоснована необходимость развития теоретико-игрового аппарата моделирования экономики, позволяющего принимать управленческие решения с учетом неполноты информации, неопределенности, конфликтности и экономического риска, а также предложена авторская концепция комбинированного применения статистических и антагонистических игр, реализация которой позволит преодолеть такой недостаток применяемых теоретико-игровых методов и моделей принятия управленческих решений, как, например, их недостаточная приспособленность к особенностям нестационарной экономики.

2. Предложено применение задачи Луки Пачоли о разделе ставки при незавершенной игре и ее обобщений, названных в диссертационной работе параметрической игрой Луки Пачоли и обобщенной параметрической игрой Луки Пачоли, для моделирования процессов ПРОРР.

3. Доказана возможность и целесообразность комбинированного применения статистических и антагонистических игр для моделирования процессов ПРОРР, а также эффективность выбора управленческого решения на основе оптимального решения антагонистической игры, характеризующей ситуацию принятия решений. Предложены условия, соблюдение которых создает предпосылки корректного комбинированного применения статистических и антагонистических игр для моделирования процессов ПРОРР.

4. Проведена классификация АИ по неполноте информации, раскрыта специфика неоклассических антагонистических игр, т.е. игр, заданных частично известными платежными матрицами. Разработаны методы решения неоклассических антагонистических игр, основанные на классификации информационных ситуаций относительно неопределенности истинных значений неизвестных элементов платежной матрицы игры.

5. Разработана общая схема комбинированного применения статистических и антагонистических игр для моделирования процессов ПРОРР, включающая формирование и интерпретацию множеств чистых стратегий игроков, построение функционала оценивания, т.е. платежной матрицы статистической игры, отождествление исходной статистической игры с АИ, заданной той же самой матрицей, решение полученной АИ, выбор управленческого решения, основанного на оптимальном решении соответствующей АИ, анализ корректности и эффективности выбранного управленческого решения, реализацию выбранного управленческого решения и его корректировку (по необходимости и возможности) в процессе, а также после его реализации. В частности, разработаны схемы комбинированного применения статистических и антагонистических игр совместно с различными разделами математики, в частности с энтропийным подходом, нечеткой математикой, конкретной математикой, прикладной статистикой и эконометрией, теорией случайных процессов.

6. Доказаны утверждения, устанавливающие взаимные связи квадратичного программирования и современной теории портфеля, с одной стороны, и теории АИ, с другой стороны; разработан теоретико-игровой метод решения задачи выбора структуры оптимального портфеля в условиях неполноты информации.

7. Разработан общий принцип теоретико-игрового упорядочивания (ранжирования) альтернатив по уровню их надежности, основанный на комбиниро-

ванном применении статистических и антагонистических игр совместно с нечеткой математикой, применение которого позволяет оптимизировать уровень ЭР. В частности, разработаны уточненные теоретико-игровые схемы моделирования процессов ПРОРР, в частности, а) для выбора наиболее надежных проистов (объектов), что позволяет сформировать портфель проектов (объектов) как в случае отсутствия, так и в случае наличия седлового элемента в платежной матрице АИ, характеризующей ситуацию принятия управленческих решений о выборе наиболее надежных проектов (объектов); б) для выбора потенциальных заемщиков, обладающих наибольшим уровнем относительной репутации, что позволяет анализировать кредитоспособность потенциальных заемщиков, принимать кредитные решения и уменьшать как уровень риска невозврата выданных кредитов и значение вероятности возникновения других проблем по выданным кредитам, так и уровень ЭР деятельности кредитора в целом; в) для выбора оптимального по качеству состава ингредиентов продукта на основе анализа нескольких разработанных вариантов с целью стабилизации спроса на соответствующую продукцию и снижения уровня ЭР.

8. Разработана схема комбинированного применения статистических и антагонистических игр совместно с теорией случайных процессов для моделирования процессов принятия управленческих решений в экономике, позволяющая, например, моделировать процесс формирования цены.

9. Разработана теоретико-игровая модель дефолта ЭС, подтверждающая объективность цикличности развития экономики и неизбежность индивидуального дефолта и, как следствие, банкротства и ликвидации отдельно взятой экономической системы.

10. Разработана схема комбинированного применения статистических и антагонистических игр для интегральной оценки общего потенциала предприятий, которая позволяет на основе значений частных потенциалов оценить относительные значения уровней общих потенциалов каждого из рассматриваемых предприятий и выявить сильные и слабые стороны деятельности предприятий.

Теоретическая значимость результатов исследования состоит в разработке теоретических и методологических положений теоретико-игрового моделирования процессов принятия управленческих решений в экономике, в частности, процессов ПРОРР, что позволило существенно расширить сферу применения теории игр в экономике, а также развить математический аппарат экономических исследований на основании комбинированного применения статистических и антагонистических игр совместно с различными разделами математики.

Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью применения предложенных моделей и методов в различных сферах экономической деятельности с целью повышения эффективности функционирования экономических систем. Разработанная концепция комбинированного применения статистических и антагонистических игр позволяет принимать управленческие решения, адекватно учитывающие такие особенности современной отечественной экон омики как нестационарность, случайность, хаотичность, неполнота информации, неопределенность, конфликт-

ность, конкуренция, противоречивость, альтернативность, многокритериаль-ность и обусловленный ими экономический риск. Комбинированное применение статистических и антагонистических игр совместно с различными разделами математики позволяет решать задачи оптимального распределения ресурсов, находить структуру эффективного портфеля, выбирать потенциальных заемщиков, обладающих наибольшим уровнем относительной репутации, определять значение индивидуальной ставки кредитования, выбирать наиболее надежные проекты, оценивать интегральный потенциал предприятий и т.д. и т.п.

Апробация результатов. Основные положения диссертации докладывались на международных научных школах «Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах» (СПб., 2003-2011), международных школах-симпозиумах «Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем» (Севастополь, 2007-2014), международных научно-практических конференциях «Актуальные проблемы и перспективы развития экономики Украины» (Алушта, 2003-2011, Гурзуф, 2013, 2014), международных научно-практических конференциях «Теория и практика экономики и предпринимательства» (Алушта, 2005-2010, Гурзуф, 2013, 2014), Всеукраин-ских научно-методических конференциях «Проблемы экономической кибернетики» (2007-2010), международных научно-методических конференциях «Математические методы, модели и информационные технологии в экономике» (Черновцы, 2009, 2011, 2013), 2-й международной научной конференции «Математическое моделирование, оптимизация и информационные технологии» (Кишинэу, 2010), международных научно-практических конференциях «Прогнозирование социально-экономических процессов» (Киев, 2010, Бердянск, 2011), Пятой международной конференции «Управление развитием крупномасштабных систем (МЬ813'2011)» (Москва, 2011), международной научно-практической конференции Пятнадцатые Друкеровские чтения «Экономическая политика: на пути к новой парадигме» (Москва, 2013), международной научно-практической конференции «Рефлексивные процессы и управление в экономике» (Партенит, 2013), VIII Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и технологий (ЭКОМОД-2014)» (Москва, 2014) и др.

Ряд положений диссертации был использован при выполнении НИР кафедры экономической кибернетики экономического факультета Таврического национального университета имени В. И. Вернадского, г. Симферополь, на тему «Моделирование социально-экономических процессов и систем и их информационное обеспечение» (2011-2014 гг.), а также внедрены в учебный процесс преподавания дисциплин «Рискология», «Теория игр», включенных в учебный план студентов, обучающихся по направлению подготовки 38.03.05 Бизнес-информатика (бакалавриат).

Публикации. Основные результаты диссертации нашли отражение в 60 научных и научно-методических работах автора (личный вклад автора — 66,35 п.л.), в т.ч. в авторской монографии (объемом 17,9 п.л.), I! 4 разделах в монографиях, в 4 статьях в журналах, включенных в перечень российских рецензируемых научных журналов для опубликования основных научных результатов диссертаций, в 2 статьях в журналах, входящих в список ВАК Ук-

раины и международные базы цитирования, в 20 статьях в журналах, входящих в список ВАК Украины, в 2 учебных пособиях с грифом Министерства образования и науки Украины, а также в 27 научных публикациях, в других изданиях.

Структура и объем работы- Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и семи приложений. Основной текст работы изложен на 305 страница, приложения— на 16 страницах текста. Иллюстративный материал включает 8 рисунков и 9 таблиц. Список литературы включает 377 наименований. Работа имеет следующую структуру: Введение

Глава 1. Особенности принятия управленческих решений в экономике

1.1. Проблемы моделирования процессов принятия решений в экономике

1.2. История возникновения теории игр и ее прикладной характер

1.3. Краткий обзор современных теоретико-игровых исследований

1.4. Применение теории игр для моделирования процессов принятия решений в экономике

1.5. Теоретико-игровое моделирование экономики и принцип системности Глава 2. Концептуальные основы теоретико-игрового моделирования процессов принятия решений в экономике с учетом риска

2.1. Краткая классификация игр

2.2. Классические антагонистические игры

2.3. Неоклассические антагонистические игры

2.4. Комбинированное применение статистических и антагонистических игр Глава 3. Комбинированное применение статистических и антагонистических игр совместно с энтропийным подходом для принятия решений об оптимальном распределении ресурсов

3.1. Теория игр, квадратичное программирование и современная теория портфеля

3.2. Применение в экономике оценок распределения вероятностей, найденных по формулам Фишберна

3.3. Применение антагонистических игр для оптимизации структуры портфеля

Глава 4. Комбинированное применение статистических и антагонистических игр совместно с нечеткой математикой для принятия решений об оптимальном распределении ресурсов

4.1. Теоретико-игровая модель упорядочивания альтернатив по уровню их надежности

4.2. Теоретико-игровая модель выбора наиболее надежных проектов

4.3. Теоретико-игровая модель принятия кредитных решений

Глава 5. Комбинированное применение статистических и антагонистических игр совместно с другими разделами математики для принятия решений об оптимальном распределении ресурсов

5.1. Комбинированное применение статистических и антагонистических игр совместно с конкретной математикой

5.2. Комбинированное применение статистических и антагонистических игр совместно с прикладной статистикой

5.3. Комбинированное применение статистических и антагонистических игр совместно с теорией случайных процессов

5.4. Теоретико-игровая модель дефолта экономических систем и цикличность развития экономики

5.5. Теоретико-игровая интегральная оценка потенциала предприятия Заключение

Сокращения и условные обозначения

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

Под нестационарной экономикой будет пониматься «хозяйственная система, которой присущи достаточно резкие и плохо предсказуемые изменения многих макроэкономических показателей и параметров, уровни состояния и динамика которых не отвечает стационарному режиму экономики и нормальному рыночному циклу, а скорее присущи переходным кризисным или посткризисным экономическим процессам»1.

В целом, экономические системы (ЭС), процессы и явления характеризуются недетерминированностью, что влечет некоторую случайность, т.е. неустойчивость связей как между разными ЭС, так и между многообразными экономическими процессами и явлениями.

Как отмечалось, любая экономика представляет собой динамическую, слабо структурированную сложную систему, которая состоит из многих элементов, в т.ч. из большого количества ЭС, которые находятся в довольно тесном, непрерывном взаимодействии. Эти взаимодействия составных элементов экономики и случайность взаимосвязей влекут хаотичность, т.е. беспорядочность этих взаимодействий и взаимосвязей.

Неполнота информации, которой обладают субъекты экономической деятельности, абсолютно неизбежна и естественна. Во-первых, обладание полной информацией означает знание всего и вся, что принципиально невозможно. Во-вторых, в реальной экономике точное прогнозирование будущих значений всех параметров (например, темпа инфляции, уровня спроса, уровня предложения и т.п.) и точное предвидение будущего состояния экономической среды невозможны. В-третьих, в экономике всегда имеет место известная асимметрия информации, обусловленная, прежде всего, наличием

1 Лившиц В. Н. Системный анализ рыночного реформирования нестационарной экономики России: 19922013. - М.: ЛЕНАНД, 2013. С. 93.

государственных и коммерческих тайн и т.п. В-четвертых, в тех случаях, когда возможно приобретение необходимой и/или достаточной информации, такая информация часто имеет неприемлемо высокую стоимость.

Неопределенность- это недостаточность обеспеченности процесса принятия управленческих решений необходимой информацией или, в более общей трактовке, знаниями о проблемной ситуации. Неопределенность влияет на эффективность экономической деятельности. Фундаментальная неопределенность экономической деятельности- это неопределенность ее результатов.

Любой экономической деятельности еще присуща конфликтность. В экономической деятельности нередко возникают недоразумения, противоречия, напряженные отношения, конфлшсты интересов - как внутри трудовых коллективов, так и между партнерами, контрагентами, конкурентами. Множественность целей и многокритериальность также влекут конфликтность, т.к. преследуемые цели могут вступать в противоречия друг с другом.

Рыночная экономика невозможна без конкуренции, т.е. соперничества субъектов экономической деятельности. Отличительная особенность конкуренции состоит в том, что она подразумевает получение той или иной выгоды субъектом экономической деятельности.

Экономика обязательно включает элементы, составные части, между которыми, а также между их целями и интересами, имеет место частичная или полная несовместимость. Наличие такой несовместимости и означает противоречивость экономики.

Альтернативность и многокритериальность - это свойства, присущие процессам принятия управленческих решений в экономике. Принятие управленческих решений - это выбор опти мальной (наилучшей) альтернативы. Модель принятия управленческих решений в экономике представляет собой многоцелевую многокритериальную задачу, в которой требуется оптимизировать значения нескольких экономических показателей.

Существует множество определений термина «экономический риск». ЭР в узком смысле - это возможность неблагоприятных событий и нежелательных последствий, в частности возможность отклонения результатов деятельности от желаемых (ожидаемых) значений. ЭР в широком смысле - это экономическая категория, отображающая характерные особенности восприятия лицом, принимающим решения, случайности, неполноты информации, неопределенности и конфликтности, объективно существующих и внутренне присущих процессам определения целей, управлению, оцениванию альтернативных вариантов действий и принятию решений1. Все эти процессы отягощены возможными опасностями и неиспользованными возможностями. Приведенное здесь определение ЭР (в широком смысле) основано на системном подходе к этой экономической категории.

Случайность, хаотичность, неполнота информации, неопределенность, конфликтность, конкуренция, противоречивость, альтернативность, многокритериальность, ЭР - это феномены, характерные для рыночной экономики, поэтому они присущи практически любой хозяйственной системе. Нестационарность тоже характеризует экономику не только России. Как известно, иг-

1 Вгглшський В. В. Аншиз, оцшка > моделювання еконошчного ризику. - К.: ДЕМ1УР, 1996. С. 8.

ры самых разных классов успешно применяются в экономической теории и практике для моделирования процессов принятия управленческих решений в экономике (особенно в условиях стационарной экономики). Это свидетельствует об адекватности теоретико-игровых методов и моделей условиям современной экономики.

Однако нынешняя экономика России обладает рядом особенностей, присущих исключительно ей. Во-первых, в связи с интенсивными трансформационными преобразованиями российской экономики неполнота информации обладает значительно большей степенью, чем в условиях стационарных экономик. Во-вторых, экономическая ситуация в современной России существенно усложнена нерационально проведенными радикальными рыночными реформами. В-третьих, последствия мирового и российского финансового кризиса 2008-2011 годов не преодолены в России до сих пор и накладывают негативный отпечаток на всю экономику России. В-четвертых, на современную ситуацию в экономике России заметное влияние оказывают геополитические риски, возникшие как в отечественной, так и в мировой экономике после социально-политического кризиса, начавшегося на Украине в конце 2013 года.

Все вышеперечисленные особенности экономики современной России приводят к тому, что, во-первых, теоретико-игровые методы и модели, применяемые для моделирования процессов принятия управленческих решений в условиях стационарной экономики, оказались практически неприменимыми в России, а, во-вторых, очевидно, что в таких условиях ЛПР нецелесообразно рисковать. Таким образом, имеется насущная необходимость разработки новой концепции теоретико-игрового моделирования процессов принятия управленческих решений в экономике, адекватно учитывающие состояние экономики современной России.

С одной стороны, наиболее известной, наиболее распространенной и наиболее разработанной моделью принятия решений принято считать статистическую игру. С другой стороны, следует ожидать, что в такой ситуации применение АИ для моделирования процессов принятия управленческих решений в экономике позволит кардинально повысить обоснованность управленческих решений. Действительно, оптимальное решение АИ будет ориентировать ЛПР на предельно осторожное поведение. Следовательно, в условиях экономики современной России необходимо применение АИ, адекватно учитывающих повышенный уровень неполноты информации, неопределенности, конфликтности и ЭР. Точнее, для моделирования процессов принятия управленческих решений статистические и антагонистические игры следует применять комбинированно, при этом классификацию игр следует расширить за счет введения разновидности АИ, заданной в условиях неполной информации.

2. Предложено применение задачи Луки Пачоли о разделе ставки при незавершенной игре и ее обобщенны, названных в диссертационной работе параметрической игрой Луки Пачоли и обобщенной параметрической игрой Луки Пачоли, для моделирования процессов ПРОРР.

Хотя история теории игр как самостоятельной науки не насчитывает и ста лет, ее зарождение как составного раздела математики состоялось не-

сколько тысячелетий тому назад. Некоторые исследователи считают, что зарождение теории игр «можно датировать 29 июля 1654 г., то есть днем, когда Б. Паскаль написал известное письмо П. Ферма (это же письмо считается началом теории вероятностей)»1. С одной стороны, это мнение можно признать справедливым. С другой стороны, указанная дата должна быть перенесена на много десятилетий, а то и столетий, раньше.

В 1654 г. Блез Паскаль и Пьер Ферма решили знаменитые задачи: задачу кавалера де Мере и задачу Луки Пачоли. Лука Пачоли еще в 1494 г. опубликовал работу «Сумма [знаний] арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности». В этой книге, среди прочего, приведена задача о разделе ставки при незавершенной игре двух лиц, подбрасывающих монету.

Очевидно, 1494 год, год издания книги Луки Пачоли, является датой зарождения не только теории вероятностей, но и теории игр. Безусловно, теория вероятностей и теория игр, имеют общие исторические и научные корни. Но, при рассмотрении, например, салонных игр теорию вероятностей интересуют вопросы оценки шансов реализации тех или других событий, возможности их наступления, а теорию игр — вопросы поведения игроков, правил определения величин выигрышей игроков, дележа ставки, дележа общего выигрыша и т.п. В рамках вероятностных методов можно проанализировать и оценить отдельные виды рисков. Поскольку теория вероятностей зародилась в переписке Паскаля и Ферма по поводу решения задач Пачоли и де Мере, то задачу Луки Пачоли можно считать началом еще и современной системы оценок уровня ЭР, т.е. началом рискологии.

Сформулируем задачу Луки Пачоли о разделе ставки при незавершенной игре. Два игрока поставили по 105 лир с условием, что общий выигрыш (210 лир) достанется тому, кто первым выиграет три партии. После того, как первый игрок выиграл две партии, а второй - одну, игра прервалась. Как справедливо распределить ставки? Распределение ставок, учитывающее шансы игроков одержать конечную победу, и следует считать справедливым. Только Паскаль и Ферма окончательно решили эту задачу (первый игрок должен получить 157,5 лир, второй- 52,5 лир, т.е. в пропорции 3:1). Рассмотрим возможность применения задачи Луки Пачоли о разделе ставки при незавершенной игре для моделирования процессов ПРОРР.

Игрой Луки Пачоли будем называть задачу о разделе ставки при незавершенной игре двух лиц, подбрасывающих монету, при условии, что общий выигрыш должен был бы достаться тому игроку, который первым выиграет три партии, но игра прервалась, когда первый игрок выиграл две партии, а второй — одну.

Зададим игру Луки Пачоли в развернутой (экстенсивной) форме, т.е. представим ее в виде дерева принятия решений (рис. 1).

Здесь подразумевается, что игроки продолжают игру до победы одного из них. Каждой концевой вершине ставится в соответствие вектор выигрышей игроков, имеющий вид = 1 - ql.

Очевидно, справедливо равенство lim я^ = lim пк =

Итак, предельная вероятность перехода в поглощающее состояние (в состояние дефолта и/или банкротства) равняется pl = lim = 1, поэтому

объявление долго функционирующей экономической системой своего дефолта нужно считать практически достоверным событием, а сам дефолт и, как следствие, банкротство и ликвидацию ЭС, - практически неизбежным состоянием ЭС.

Если задано значение вероятности Р, то из равенства \-qk = Р получим, что наименьшее возможное количество к > Р,

где 1п л - натуральной логарифм,

Гл-1 - значение функции потолка числа х, т.е. Гх1 — это такое целое число, для которого выполняются неравенства [У|- 1<*<ГдЛ. Результаты расчетов значений к(Р) для /7 = 0,01 приведены в таблице 2. Отметим, что значение ¿(0,5) = 69 согласуется с приблизительным значением продолжительности длинных циклов (волн) Кондратьева в 45-70 лет.

Расчеты значений к(Р)

р 0.1 0,3 0,5 0,7 0,9

к(р) 11 36 69 120 230

Рассмотрим НАИ, характеризующую функционирование ЭС, т.е. ПАИ, заданную платежной матрицей (18). Оптимальному решению

р* = [ 0,5——; 0,5 + -^-), я* = (0,5; 0,5), Кп*=0,5 этой НАИ можно дать

следующую интерпретацию: при многократном прохождении ЭС через стадию своего кризисного функционирования она с равными шансами прийняття кредитних pimeiib з урахуванням ризику // Моделювання та шформацшш системи в економщь 36. наук. пр. № 87. К.: КНЕУ, 2012. С. 33-59. (личный вклад автора - 0,5 п.л.)

30. Сигап А. В. Применение теории антагонистических игр для принятия решений в экономике// Ученые записки ТНУ им. В.И.Вернадского. Серия: Экономика и управление. 2013. Т. 26 (65), № 1. С. 137-148. (0,85 пл.)

31.Bakumenko М. A., SigalA. V. Concerning Some Aspects of Consideration of Risk Component in Investment Project Efficiency Evaluation // Ученые записки ТНУ им. В.И.Вернадского. Серия: Экономика и управление. 2014. Т. 27 (66), № 1. С. 155-165. (личный вклад автора - 0,35 п.л.)

Учебные пособия для студенток вузов с грифом Минобрнаукя Украины

32. Вшннський В. В., Верчено П. I., ОгалА. В., Наконечний Я. С. Економ1ч-ний ризик: irpoei модели Навчальний поабник (Гриф МОИ Украши. Лист № 14/18.2-1342 eid 21.09.01).- К.: КНЕУ, 2002. 446 с. (личный вклад автора-6,48 п.л.)

ЪЪ.С1гал А. В., ЯценкоЛ. Ф. Конкретна математика: навчальний пособник (Гриф МОНмолодъспорту Украши. Лист№ 1/11-1702 eid 02.03.11). Вид. 2-е, переробл. й доповн. С1мферополь: Д1АЙП1, 2012. 204 с. (личный вклад автора-5,93 пл.)

Публикации в других научных изданиях 34. Сигап А. В. Теоретико-игровая минимизация уровня риска портфеля ценных бумаг в поле различных информационных ситуаций // Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах: труды Междунар. науч.

школы МАБР-2003. (СПб., 20-23 августа, 2003). СПб.: Изд-во СПбГУАП, 2003. С. 254-260. (0,45 п.л.)

35. Сигал А. В. Теоретико-игровой метод формирования портфеля наиболее надежных проектов // Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах: труды Междунар. науч. школы МАБР-2004 (СПб., 22-25 июня 2004). - СПб.: ГОУ ВПО СПбГУАП, 2004. С. 290-295. (0,3 п.л.)

36. Сигал А. В. Квадратичное программирование и теория игр // Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах: труды Междунар. науч. школы МАБР-2005 (СПб., 28 июня-] июля, 2005).- СПб.: ГОУ ВПО СПбГУАП, 2005. С. 259-265. (0,4 п.л.)

37. Сигал А. В. Классификация неопределенности задания платежной матрицы антагонистической игры // Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах: труды Междунар. науч. школы МАБР-2006 (СПб., 4-8 июля, 2006). - СПб.: ГОУ ВПО СПбГУАП, 2006. С. 79-84. (0,35 п.л.)

38. Сигал А. В. Оптимизация уровня экономического риска на основе решения антагонистических игр, заданных в условиях частичной определенности // Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах: труды Междунар. науч. школы МАБР-2007 (СПб., 4-8 сентября, 2007).-СПб.: ГУАП, 2007. С. 113-119. (0,35 пл.)

39. С1галА. В., Половшкша Г. I. Теоретико-тгровий алгоритм визначення ш-тегральноГ оцшки загального потешцалу шдприемства // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2007). Труды Междунар. школы-симпозиума АМУР-2007 (Севастополь, 12-16 сентября 2007).- Симферополь: б.и., 2007. С. 183-190. (личный вклад автора- 0,15 п.л.)

АО. Сигал А. В., Линь Сэнь Теоретико-игровая модель кредитования физических лиц, основанная на анализе кредитных историй // Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах: труды Междунар. науч. школы МАБР-2008 (СПб., 24-28 июня, 2008). - СПб.: ГУАП, 2008. С. 116-121. (личный вклад автора - 0,2 п.л.)

41. Сигал А. В., Линь Сэнь Теоретико-игровой алгоритм оценки относительной репутации потенциальных заемщиков // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2008): труды П Междунар. школы-симпозиума АМУР-2008 (Севастополь, 12-18 сентября 2008).- Симферополь: б.и., 2008. С. 89-93. (личный вклад автора - 0,15 п.л.)

42. Сигал А. В. Квадратичное программирование. Теория портфеля. Теория игр// Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2008): труды II Междунар. школы-симпозиума АМУР-2008 (Севастополь, 12-18 сентября 2008).- Симферополь: б.и., 2008. С. 223-227. (0,3 пл.)

43. Сигал А. В. Вероятностная модель эффективности работы экономической системы с одним поглощающим состоянием// Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах: труды Междунар. науч. школы МАБР-2009 (СПб., 7-11 июля, 2009).- СПб.: ГУАП, 2009. С. 117-122. (0,35 п.л.)

44.СигалА. В. О неизбежности индивидуальных банкротств и глобальных кризисов// Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2009): труды III Междунар. школы-симпозиума АМУР-2009 (Севастополь, 14-20 сентября 2009).- Симферополь: б.и., 2009. С. 268-273. (0,25 п.л.)

45. Сигал А. В. Теоретико-игровая оптимизация структуры портфеля в условиях частичной определенности // Математическое моделирование, оптимизация и информационные технологии: сб. докладов 2-й междунар. науч. конф. 24-26 марта 2010.-Кишинэу. С. 181-187. (0,4 п.л.)

46.SigalA. V. Risk Modeling of Changes in the Price Based on the Use of Games with Incomplete Information // Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах: труды Междунар. науч. школы МАБР-2010 (СПб., 6-10 июля,2010).-СПб.: ГУАП,2010. С. 146-151. (0,3 п.л.)

47. Сигал А. В. О совершенствовании управления кредитным риском // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2010): труды IV Междунар. школы-симпозиума АМУР-2010 (Севастополь, 13-19 сентября 2010).- Симферополь: ТНУ им. В. И. Вернадского, 2010. С. 347-353. (0,35 п.л.)

48.агалА. В. Циюнчшсть розвитку економпших систем i прогнозування си-стемних криз економжи // Глава в колл. монографии «Прогнозування соцш-льно-економгчних процешв: сучасш пщходи та перспективи / П1Д ред. О. I. Черняка, П. В. Захарченко. - Бердянськ: Видавець Ткачук О. В. 2011. С. 236-251.(0,75 п.л.)

49.SigalA. V. Modeling of Credit Risk on Basis of Joint Application of Game Theory and Fuz2y Mathematics// Моделирование и анализ безопасности и риска в сложных системах: труды Междунар. науч. школы МАБР-2011 (СПб., 28 июня-02 июля, 2011). - СПб.: ГУАП, 2011. С. 93-98. (0,3 п.л.) 50. Сигал А. В. Ранжирование проектов., основанное на совместном применении теории игр и нечеткой математики // Управление развитием крупномасштабных систем (MLSD'2011): Материалы Пятой междунар. конф. (3-5 октября 2011). Т. 1.-М.: ИПУ РАН, 2011. С. 165-167. (0,1 п.л.) 5 Сигал А. В. О возможности применения задач линейной оптимизации с неточными данными при теоретико-игровом моделировании экономического риска // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2012): сб. научных трудов VI Междунар. школы-симпозиума АМУР-2012 (Севастополь, 17-23 сентября 2012).- Симферополь: ТНУ им. В. И. Вернадского. 2012. С. 324-326. (0,1 п.л.)

52.агалА. В. Про сумюне застосування антагошстичних irop i метод1в прогнозування при моделюванш економга! // Глава в колл. монографии «Сучас-Hi концепцп прогнозування розвитку складних сощально-економ^чних систем» / За ред. О. I. Черняка, П. В. Захарченка. Бердянськ: Видавець Ткачук О. В., 2013. С. 337-350. (0,8 п.л.)

53 .Сигал А. В. Новая концепция применения в экономике теории антагонистических игр// Материалы междунар. научно-практической конференции «Экономическая политика: на пути к новой парадигме». Пятнадцатые Друке-

ровские чтения (5-6 июня 2013). Т. 2 // Под ред. Р. М. Нижегородцева, А. И. Тихонова, Н. В. Финько. - М.: Доброе слово. 2013. С. 242-254. (0,7 п.л.)

54. Сигал А. В. О принятии управленческих решений в экономике на основе сочетания применения антагонистических и статистических игр // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2013): сб. научных трудов VII Междунар. школы-симпозиума АМУР-2013 (Севастополь, 12-21 сентября 2013).- Симферополь: ТНУ им. В. И. Вернадского.

2013. С. 303-312.(1,0 п.л.)

55.Сигал А. В., Сигал С. А. Измерение хаотичности для оценок распределения вероятностей, найденных по формулам Фишберна // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2013): сб. науч. трудов VII Междунар. школы-симпозиума АМУР-2013 (Севастополь, 12-21 сентября 2013).- Симферополь: ТНУ им. В. И. Вернадского. 2013. С. 312318. (личный вклад автора - 0,35 п.л.)

56. Огал А. В., ОгалС. А. Властивосп антапмпстичних ¡гор, заданих стохас-тичними матрицями // Актуалып проблеми та перспективи розвитку еконо-míkh УкраТни. Матер!али XII М1жнар. наук.-практ. конф. Гурзуф, 10-12 жов-тня 2013. - Саки: ПП «Шдприемство Фешкс». 2013. С. 65-66. (личный вклад автора - 0,03 п.л.)

57. Сигал А. В. Неоклассическая антагонистическая игра как рефлексивная модель процесса взаимодействия // Рефлексивные процессы и управление в экономике: тезисы докл. IV Междунар. науч.-практ. конф. (Партенит, 14-17 октября 2013) НАНУ, Институт экономики промышленное™// Под ред. Р. Н. Jlena (отв. ред.) и др. - Донецк: ИЭП НАН Украины, 2013. С. 95-98. (0,15 п.л.)

58. Сигал А. В. О совместном применении в экономике теории игр и нечеткой математики // Нейро-нечта технологи моделювання в економщк 2013. № 2. С. 161-186.(1,5 п.л.)

59. Сигал А. В. О нормализации показателей, обладающих переменным ингредиентом // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем (АМУР-2014): сб. научных трудов VIII Междунар. школы-симпозиума АМУР-2014 (Севастополь, 12-21 сентября 2013).- Симферополь: ТНУ им. В. И. Вернадского. 2014. С. 317-320. (0,3 п.л.)

60. Сигал А. В. Использование концепции комбинированного применения антагонистических и статистических игр для поддержки принятия решений в экономике // Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и технологий. Тезисы докладов VIII Всеросс. науч. конф. с междунар. участием «ЭКОМОД-2014». Москва, 21-24 октября, 2014. - М.: ВЦ РАН,

2014. С. 82. (0,05 п.л.)

Подписано в печать 02.04.2015 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 2,91. Тираж 100 экз. Заказ № 004/0204.

Отпечатано с готового оригинал-макета в полиграфцентре «КУБ» ГЧ'*! 295000, г. Симферополь, ул. Тренева, 1. Тел. (978) 772 40 21

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎