автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему: Обобщение непрерывного аналога метода Ньютона и метод сплайнов для численного решения нелинейных задач теоретической физики

Автореферат диссертации по теме "Обобщение непрерывного аналога метода Ньютона и метод сплайнов для численного решения нелинейных задач теоретической физики"

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи 11-92-278

УДК 519.652+519.624+ 519.615+530.145

ОБОБЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО АНАЛОГА МЕТОДА НЬЮТОНА И МЕТОД СПЛАЙНОВ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность: 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена в Лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединенного института ядерных исследований.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических доктор физико-математических доктор физико-математических

Ведущее научно-исследовательское учреждение: Московский инженерно-физический институт

Автореферат разослан пЗС" ию>1-2_ 1992 г.

Защита диссертации состоится " ¿"¿¿САР1992 гола в " /О" часов на заседании Специализированного совета Д047.01.04 при Лаборатории вычислительной техники и автоматизации ОИЯИ, г.Дубна, Московская область.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке оияи.

Ученый секретарь Совета

кандидат физико-математических наук 1-, З.М.ИВАНЧЕНКО

Основной целью данной диссертации является разработка диного метода численного решения нелинейных краевых —_г"^(х,ос, г, г') =0 , а^х^в ,

1г(а,г,г')=0 , х=в , спектральных краевых задач

десь 1-единичная, а Р,0 и В-заданные матрицы размерности хп, Л-собственные значения, г(х) и у(х)-искомые ектор-функции размерности п, ^заданный вектор той же азмерности, 1 , 12 -векторы размерности п, компоненты эторых являются нелинейными функциями своих аргументов.

К общим характеристикам указанных задач можно отнести их элинейность, сингулярность (а=-а>, в=оо), многопараметричность я=(а ,а . а )). Иногда возникает необходимость изучения

волюционной зависимости Л от параметра а. При этом возможна яфуркация точек спектра.

Актуальность ^работы Задачи типов (1) и (2) часто возникают в различных гзделах теоретической физики, таких как квантовая механика, эзоатомная физика, теория конденсированных сред.

В диссертации рассмотрены задача рассеяния, задача зух кулоновских центров, включая дискретный, непрерывный и 1скретно-непрерывный спектры, исследование устойчивости

солитонов в моделях нелинейной теории поля и физи конденсированного состояния. Математическая постановка эт задач приводит к уравнениям (1) и (2). Актуальность решения объясняется непрерывным расширением области приложения к проблемам современной физики и химии.

Как известно, задача на собственные значения (2) вмес с некоторым нормировочным функционалом собственного элемен рассматривается как нелинейное функциональное уравнен относительно неизвестной пары 2=(Л,у). Таким образом, зада (1) и (2) можно записать в виде

Численное решение задачи (3) состоит из двух этапо линеаризации и дискретизации. Среди методов линеаризац нелинейного функционального уравнения типа (3) одним распространенных является метод Ньютона-Канторович Обобщение данного метода предложено М.К.Гавуриным и нос название непрерывного аналога метода Ньютона (НАМИ). Мет получил дальнейшее развитие в работах Е.П.Жидков И.В.Пузынина и их учеников и хорошо зарекомендовал себя п решении различных нелинейных задач теоретической физики течение последних двадцати с лишним лет.

Отметим, что предложены также различные модификации НА с целью упрощения вычисления и расширения области сходимост Что касается дискретизации задачи (3), то существу множество различных методов, таких как метод конечн разностей, метод конечных элементов и другие.

В последное время в с с; больше внимание споциалигт привлекает метод кубических сплайнов, который по точности

сложности реализации сравним с конечно-разностным методом, но имеет и некоторые преимущества перед последним. Приближенное решение в нем ищется в конечномерном пространстве кубических сплайнов, в результате чего дифференциальный оператор от сплайна вычисляется точно. Оказывается, что в этом пространстве находится, в частности, квазиинтерполяционный сплайн, аппроксимирующий достаточно гладкое решение дифференциальной задачи. На основе метода коллокации удается найти сплайн, совпадающий по точности с квазиинтерполяционным. Таким образом, здесь имеется возможность строить приближенное решение, аппроксимирующее не только решение, но и его производные с высокой точностью, что требуют многие задачи физики, в том числе и перечисленные выше.

Следует отметить, что близким к методу сплайн-коллокации решения спектральных задач является метод стержневых сплайнов, в котором стержневая функция используется как средство внесения дополнительной информации о решении. Такая информация используется также в методе возмущения для решения задачи Коши.

Цели и задачи исследований Исходя из вышесказанных соображений, объектами

исследований в диссертации выбраны дальнейшее развитие НАМИ и четод сплайн-аппроксимации для численного решения задачи (3). Три этом нам пришлось:

- развить В-представление кубических сплайнов класса С2; установить свойства локально кубических сплайнов, тпроксимирующих гладкие функции, в частности, решения шфференциальных задач;

- построить сплайн-схемы повышенной точности для решения дифференциальных уравнений второго порядка;

разработать и обосновать модификацию НАМИ для численного решения нелинейных функциональных уравнений, позволяющую существенно упростить решение задачи для итерационной поправки на каждом шаге итераций;

теоретически обосновать метод выбора итерационного параметра в НАМИ.

Разработанные алгоритмы были применены к численному решению следующих задач:

задача рассеяния в одноканальной и многоканальной постановках; задача рассеяния с комплексным потенциалом; вычисление квазистационарных состояний сферически симметричных ядер; задача двух центров, вычисление термов и матричных элементов; исследование устойчивости солитонов нелинейного уравнения Шредингера с различными типами нелинейности.

Для численного решения указанных задач было необходимо:

- Решить задачу переноса граничных условий из бесконечности, учитывая асимптотическое поведение искомых решений.

- Создать комплекс программ, реализующих алгоритмы на

- Проверить работоспособность и эффективность алгоритмов проведением тестовых расчетов и сравнением с результатами, полученными другими методами в тех случаях, когда такие расчеты имелись.

Научная новизна и значимость работы

Следующие результаты являются;новыми:

- На основе в-представления сплайна введены локально

кубические сплайны, допускающие существенно более простую численную реализацию по сравнению с интерполяционными. Получены оценки погрешности аппроксимации такими сплайнами, часть из которых неулучшаемы.

- Предложены пятиточечные и трехточечные сплайн-схемы повышенной точности (порядок точности выше двух относительно шага разностной сетки) для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и доказана сходимость приближенных решений.

Даны обоснования модификации НАМИ для нелинейных функциональных уравнений в банаховом пространстве с аддитивным представлением оператора в виде простого оператора и его возмущения и выбора оптимального итерационного параметра.

разработан алгоритм, основанный на методе сплайн-аппроксимации и модификации НАМИ, для численного эешения нелинейных краевых и спектральных краевых задач (1) и [2) .

- Дано обобщение нелинейной постановки граничных условий 1ля задач рассеяния. Предложена новая постановка граничных условий для задачи двух центров.

- С помощью разработанного алгоритма численно решены шречисленные выше задачи теоретической физики с высокой точностью. Получен ряд результатов, имеющих самостоятельный Физический интерес.

Результаты, составляющие теоретическую часть (главы 1-3) [иссертации, относятся к развитию метода сплайнов и [епрерывного аналога метода Ньютона, в силу широты класса 1ассматриваемых задач предлагаемые методы могут найти

применение в различных областях физики и техники.

Практическая полезность работы Разработанные в диссертации численные алгоритмы был реализованы в виде комплексов программ, которые могут быт использованы для численного решения задачи рассеяния, задач двух центров, для вычисления матричных элементов этой задач независимо от значения параметров в ней. Большая част программных модулей с небольшими изменениями может быт использована при решении других подобных задач.

В настоящее время комплекс программ успешно используете в ОИЯИ, на математическом и физическом факультета Монгольского Государственного Университета.

Апробация работы и публикации Результаты , вошедшие в диссертацию, докладывались обсуждались на Международном симпозиуме по численному анализ (Прага, 1987), на Международных совещаниях по нелинейным турбулентным процессам в физике (Киев, 1989), по теорр солитонов . и их приложениям (Дубна, 1988), Всесоюзнс конференции "Математическое. моделирование: нелинейнь проблемы и вычислительная математика" (Звенигород, 1988), i семинарах лвта оияи, им со ан ссср.

Работа выполнена в соответствии с проблемно-тематическ> планом научно-исследовательских работ ОИЯИ.

Основное содержание диссертации отражено в 25 публике циях в виде статей в журналах ЖВМ и МФ, ЯФ, Phys. Lett. , сборниках "Вычислительные системы", в трудах ИМ АН МНР, ученых записках МонГУ, докладах, опубликованных в трудг международных совещаний по нелинейным и турбулентш.

процессам в физике и по теории солитонов и их приложениям, в препринтах и сообщениях ОИЯИ.

Личный вклад автора По теме диссертации автор имеет 7 самостоятельных публикаций. Кроме того, автор диссертации, работая в коллективе соавторов, был инициатором данных исследований. Им самостоятельно разработаны все принципиальные вопросы, относящиеся к теоретической части диссертации. Автор лично проводил реализацию на ЭВМ разработанных алгоритмов, поставил вычислительные эксперименты по решению упомянутых выше задач.

Структура диссертации Реферируемая диссертация состоит из введения и шести глав, в первой части (главы 1-3) рассмотрены теоретические вопросы, касающиеся аппроксимации функций локальными сплайнами, построения сплайн-схем повышенной точности, обоснования модификации НАМИ и выбора итерационного параметра для численного решения функциональных уравнений. Применению построенных в главах 2-3 алгоритмов для численного решения некоторых задач теоретической физики посвящена вторая часть диссертации (главы 4-6). Полный объем диссертации 254 страница.Диссертация содержит 37 таблиц, 2 рисунка и список литературы из 157 наименований:

краткое содержание диссертации Во введении к реферируемой диссертации выделяется класс задач, для которых необходимо разработать единый метод численного решения. Обосновывается выбор методов линеаризации и дискретизации. Лается краткое описание диссертации по

главам и перечень основных результатов.

В главе 1 рассматриваются аппроксимационные свойства интерполяционных и близких к ним сплайнов. При этом всюду, за исключением §2, используется В-представление кубических сплайнов класса с2.

которое является удобным средством для приложений. Оно позволяет ввести в рассмотрение некоторые локальные сплайны.

В §1 сформулированы два типа краевых условий для интерполяционных кубических сплайнов в терминах коэффициентов разложения (4). Показана эквивалентность одного из них краевым условиям типа 4. Другой тип на равномерной сетке эквивалентен оптимальным краевым условиям. Установлены свойства коэффициентов разложения (4) для интерполяционного сплайна, представляющие интерес с точки зрения аппроксимации функций. В §2 рассмотрены два типа локальных кубических сплайнов класса С и показана неулучшаемость полученных для них оценок точности аппроксимации.

В §3 введены так называемые квазиинтерполяционные и локально- аппроксимационные сплайны, коэффициенты разложения которых определяются по явным формулам. Для них установлень оценки погрешностей на любой неравномерной сетке (теоремь 1.3, 1.4). Найдены точки суперсходимости этих сплайнов пp^ некоторых ограничениях на соседние шаги сетки.

В §4 рассмотрен вопрос аппроксимации функций локально-интерполяционными кубическими сплайнами. получены оценк1 приближения функции и ее производных. Для равномерной сетк1

оценки являются точными (теорема 1.7). Для более гладкой функции получены асимптотические оценки приближения (теорема 1.9) Глава 2 посвящена построению сплайн-схем повышенной точности для решения краевой задачи

12и=а2и(в)+Э2и' (в)=э-2 . в §1 рассматривается метод сплайн-коллокации. Показано, что в :лучае равномерной сетки с помощью производных коллокацион-юго сплайна можно аппроксимировать третью и четвертую фоизводные решения задачи (5) (лемма 2.1). В §2 получено изложение коэффициентов коллокационного сплайна по степеням 1ага равномерной сетки и обоснована процедура Ричардсона точнения решения на последовательности сеток.

В §3 на основе аппроксимационных свойств квазиитерполя-[ионного сплайна построена пятиточечная сплайн-схема овышенной точности на равномерной сетке и предложен метод ее ешения. Доказана теорема о сходимости приближенного решения его производных. Схема легко распространяется на систему ифференциальных уравнений второго порядка.

В §4 построена трехточечная сплайн-схема повышенной очности на регулярной сетке. Доказана сходимость риближенного решения на неравномерной и равномерной сетках теоремы 2.2 и 2.3). Все теоретические выводы относительно орядка сходимости приближенного решения подтверждаются исленными расчетами.

Сходимость двух эволюционных процессов решения элинейного уравнения (3) изучается в главе 3. Как известно,

НАМИ для уравнения (3) приводит к итерационному процессу

г =г +г V , 0<т <1 , п=0,1.

В итерации (6) существенную роль играет параметр т^. настоящее время часто используются "оптимальный" шаг

предложенный В.В.Ермаковым и Н.Н.Калиткиным, и шаг вычисляемый по формуле

Т = а -—- Г , п=1,2. . . , (7)

Возможность применения метода установления для решен! нелинейных дифференциальных задач (1) рассматривается в §< При ограничениях на функцию £ имеет место монотоннг сходимость итераций, основанных на комбинации мето; установления и НАМИ (теоремы 3.5 и 3.6). Установлен! монотонной сходимости приближенного решения позволяет сдела" качественный вывод (теорема 3.7) о неотрицательное (неположительности) решения дифференциальной задачи (1).

§3 посвящен обоснованию обобщения (модификации) НАМИ д. уравнения (3), в котором оператор (р представляется в ви, суммы двух операторов: Iр=<ро+ц>^. Вводя непрерывный параметр (0£'Ь<оо) и функцию включения д(1:)=1-ехр(-1:) в нелинойш

i>(t, z (t) )= v0(z(t) J+gftJ^Czft))

рассматривается абстрактная задача Коши

Доказываются существование решения задачи (8) при некоторых ограничениях относительно производных операторов <ро, <pi и справедливость соотношения

где z -корень уравнения (3).

Дискретизация уравнения (8) по переменной t осуществляется, как обычно, по методу Эйлера и доказывается сходимость соответствующего итерационного процесса (теорема 3.10). Предлагается модификация этого итерационного процесса, приводящая к упрощению вычислений:

z = z + г V , n=0,1. (9Ь)

Важным является то, что эволюционный ньютоновский процесс (8) обладает свойством регуляризации.

В §4 предлагается численный алгоритм решения спектральных краевых задач, он построен с помощью обобщения НАМИ и сплайн-схемы повышенной точности. Аналогичный вопрос для краевых задач изучается в §5.

В главе 4 изучена устойчивость солитонов нелинейного уравнения Шредпнгера с различными типами нелинейности, встречавшихся в ряде теоретических моделей физики, включая ядерную гидродинамику, нелинейную оптику, плазму, теорию

конденсированного состояния вещества и джозефсоновские контакты. Как известно, вопрос об устойчивости солитонов относительно возмущения специального вида в линейном приближении обычно сводится к изучению спектра собственных значений линеаризованного уравнения в зависимости от значения внешнего параметра задачи. В §1-2 исследуется устойчивость солитонов уравнений Шредингера

1Ф1+ФХХ-(1+2А)Ф+2(А+2)Ф|Ф|2-ЗФ|Ф|4= 0 , (10)

Вопрос об устойчивости солитонов уравнений (10) и (11) сводится к изучению зависимости от параметра собственных значений задач