Критерий согласия Пирсона (Хи-квадрат) и критерий Колмогорова-Смирнова

П риняв уровень значимости alpha=0.05, проверить согласие этих данных обычного месяца с распределением Пуассона, пользуясь критерием Хи-квадрат. Перепроверить данные с помощью критерия Колмогорова-Смирнова, по прежнему принимая alpha =0.05.

Методические указания

критерий согласия Хи-квадрат
критерий Крамера-фон Мизеса
критерий Колмогорова-Смирнова

Критерий Хи-квадрат предпочтителен, когда исследуются большие объемы выборок. При малых объемах выборок этот критерий практически не пригоден.

Нулевая гипотеза при применении общих критериев согласия записывается в форме

где Fn(x) – эмпирическая функция распределения вероятностей; F(x) – гипотетическая функция распределения вероятностей.

Критерий Пирсона X 2 основан на сравнении эмпирической гистограммы распределения случайной величины с ее теоретической плотностью. Диапазон изменения экспериментальных данных разбивается на k интервалов, и подсчитывается статистика:

где ni – количество значений случайной величины, попавших в i-й интервал; n – объем выборки; F(x) – гипотетический теоретический закон распределения вероятностей случайной величины; pi = F(xi+1) — F(xi) – теоретическая вероятность попадания случайной величины в i-й интервал.

Статистика X 2 имеет распределение Хи-квадрат с f = n — 1 степенями свободы в том случае, когда проверяется простая нулевая гипотеза H0, т.е., когда гипотетическое распределение, на соответствие которому проверяется эмпирический ряд данных, известно с точностью до значения своих параметров.

Правило проверки гипотезы:

то на уровне значимости alpha, т. е. с достоверностью (1 — alpha) гипотеза

На мощность статистического критерия X 2 сильное влияние оказывает чиcло интервалов разбиения гистограммы (k) и порядок ее разбиения (т. е. выбор длин интервалов внутри диапазона изменения значений случайной величины). На практике принято считать, что статистику X 2 можно использовать, когда npi >= 5.

Такое приближение допустимо и тогда, когда не более, чем в 20% интервалов имеет место 1 <= npi <= 5.

Одна из рекомендаций по расчету k сводится к вычислению:

При n >= 200 можно выбирать k из условия

Еще одно простое правило: выбрать как можно большее k, но не превышающее n/5:

Критерий Крамера-фон Мизеса дает хорошие результаты при малых объемах выборок (менее 10). Однако вопрос о доверительной вероятности остается нерешенным (эта вероятность мала при значительных размерах доверительных интервалов. Исходя из этого, полагают, что реальные объемы выборок, которые можно получить, находятся в диапазоне от 10 до 100.

Критерий Колмогорова-Смирнова также целесообразно использовать для выборки указанных объемов в тех случаях, когда проверяемое распределение непрерывно и известны среднее значение и дисперсия проверяемой совокупности. Алгоритм реализации критерия Колмогорова-Смирнова предполагает использование критического значения D extr для проверки принятой гипотезы. Для этого используется приведенная ниже табл. 1.

Решение

1. Критерий Хи-квадрат

1.1. Реализация в MathCad

1.2. Реализация в Excel

Формулы ячеек на листе Excel представлены в табл. 2.

Ячейка Характеристика Формула В15 – число случаев исхода =СЧЁТЕСЛИ($B$3:$H$7;A15) С15 – вероятность наступления =ПУАССОН.РАСП(A15;$E$11;ЛОЖЬ) D15 – ожидаемое число случаев исхода =ОКРУГЛ(C15*$H$9;0) H19 – статистика Хи-квадрат =СУММ(H15:H18) H23 – критическое значение Хи-квадрата (максимальное значение для заданного уровня значимости) =ХИ2.ОБР(1-H22;H21) J19 – p-value (вероятность получить расчетное значение Хи-квадрата) =ХИ2.РАСП.ПХ(H19;H21) J20 – Хи-квадрат тест =ХИ2.ТЕСТ(F15:F18;G15:G18)

2. Критерий Колмогорова-Смирнова Литература

Емельянов А.А., Власова Е.А., Дума Р.В. Имитационное моделирование экономических процессов: уч. пособ. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 368с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 816 с.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎