алгебра - Сопряженный оператор

алгебра - Сопряженный оператор

Пусть $%T: V \rightarrow V$% - линейный оператор на эрмитовом пространстве $%V$%, а $%A$% - его матрица в ортонормированном базисе $%\mathbb$%. Сопряженный оператор $%T^: V\rightarrow V$% - это оператор, чья матрица в базисе $%\mathbb$% - это $%A^$% (транспонированная и сопряженная).

1) Почему это определение корректно? Вообще, что в данном случае означает корректность? Точнее, понятно, что она означает независимость от ортонормированного базиса, но не понятно, что это означает "на символах". Пусть $%\mathbb'$% - другой ортонормированный базис, $%\mathbb'=\mathbbP$%, тогда матрица оператора $%T$% в базисе $%\mathbb'$% - это $%A'=P^AP$%, а матрица оператора $%T^$% в новом базисе - $%A^< \prime \ast>=P^A^(P^)^ $%. И что дальше?

2) Как это определение связано с определением сопряженного оператора, который действует из $%V^$% в $%V^$%?

задан 12 Июн '16 20:34

@nek: корректность означает независимость от выбора базиса, но вообще-то за определение лучше брать другую вещь (как это, по-моему, и делается обычно). Если A -- оператор, то должно выполняться равенство (Ax,y)=(x,A^y) для любых векторов. См., например, здесь или в каком-нибудь учебнике. Уже потом выводятся факты насчёт матриц.

P.S. Пространство здесь должно называться унитарным, насколько я понимаю. Эрмитовость -- это свойство операторов, а не пространств.

@falcao: я потому и написал определение, что оно отличается от общепринятого. В некоторых курсах дается именно такое. А (Ax,y)=(x,A^y) выводится как свойство. Все-таки интересно, как доказать корректность (закончить предложенный кусок) именно такого определения.

@nek: я не думаю, что переиначивание определений полезно, так как авторы учебников обычно выбирают наиболее удачный (в смысле методического построения курса) путь. Например, определение ранга матрицы лучше давать как инвариантное, а потом доказывать, что методом Гаусса именно эта величина вычисляется. Содержательная часть при этом не пропадает: альтернативные определения превратятся в какие-то теоремы.

По сути Вашего вопроса всё просто: если P переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то P эрмитова, и для неё сопряжённая матрица совпадает с обратной.

@falcao: а почему "если P переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то P эрмитова"?

@falcao, любопытно, но у нас с Вами опять терминология не совпадает. :) Термин "эрмитово пространство" существует и широко используется (по крайней мере, в англоязычной литературе). Это комплексное векторное пространство вместе с положительно определенной эрмитовой формой. "Унитарное пространство" тоже используется, но значительно реже. Насколько мне удалось выяснить, это устаревшее название эрмитова пространства (http://math.stackexchange.com/questions/182062/what-is-unitary-space). А матрицы, которые Вы называете эрмитовыми, мне известны как раз как унитарные. Эрмитовы - такие: A^=A.

@Ivan_Petrov: русскоязычная терминология часто отличается от англоязычной. Насколько я знаю, у нас всегда было принято называть унитарным пространство с комплексным скалярным произведением. При этом само скалярное произведение называлось эрмитовым. Можно просто взять стандартные учебники линейной алгебры и проверить.

Что касается матриц, то здесь я просто оговорился. Конечно, эрмитовы -- это аналог самосопряжённых, а унитарные -- аналог ортогональных. Здесь всё однозначно.

@nek: тот факт, на который я сослался, доказывается в учебниках (с учётом того, что я оговорился).

@falcao: допустим. И как это доказывает корректность? Что надо показать "символьно"? Был базис, была матрица А, а у сопряженного - А*. Поменяли базис, А заменилась на P\astA\astP. Какое равенство требуется проверить?

@nek: при переходе к новому базису матрицы сопрягаются при помощи P. Надо проверить то, что "звёздочка" от одной матрицы равна другой. Это следует из равенства PP^*=I.

@falcao: То есть $%A \mapsto A'=P^AP$%, $%A^\mapsto A^=P^A^P$%, и надо проверить, что $%(A^)^=(P^AP)^=P^A^P=A^$%. И это действительно выполнено. Спасибо. А насчет второго вопроса - этот сопряженный оператор и сопряженный оператор, определенный в двойственном пространстве, - это разные операторы или они как-то связаны?

1 ответ

Придётся продолжить здесь из-за отсутствия места в комментариях.

Если в пространстве имеется скалярное (эрмитово) произведение, то любой вектор $%y$% задаёт линейный функционал $%x\mapsto(x,y)$%. Для конечномерных пространств (а также для гильбертовых) оказывается, что все функционалы устроены именно так. Достаточно взять векторы ортонормированного базиса, и проверить, что функционалы для них линейно независимы. Тогда из совпадения размерностей получается указанный выше факт.

Если исходить из общего определения сопряжённого оператора, и применить его к данному описанию, то одно совпадёт с другим. А именно, если вектор $%y$% задаёт какой-то функционал, то можно рассмотреть новый функционал, действуя на $%x$% сначала при помощи $%A$%, а потом скалярно домножая. Функционал $%x\mapsto(Ax,y)$% оказывается линейным, и для него существует и единственен вектор $%y'$% такой, что $%(Ax,y)=(x,y')$%. Соответствие $%y\mapsto y'$% линейно, и ему соответствует линейный оператор $%A^$% такой, что $%y'=A^y$%. В итоге получается "обычное" определение.

Вообще-то тут ничего нового по сравнению с материалом стандартных учебников я не сказал. А все проверки здесь тавтологичны, и потому малоинтересны.