Точные константы в неравенствах для положительных операторов на корпусах монотонных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Работа выполнена на кафедре Высшей математики Хабаровского государственного технического университета.

доктор физико-математических наук, профессор В.Д.Степанов.

доктор физико-математических наук, профессор В.И.Буренков, кандидат физико-математических наук, доцент В.А.Вербицкий.

Воронежский государственный университет.

Защита диссертации состоится ДУ /гйЛ^Р 199-?г. в час. на заседании диссертационного совета Д.064.62.01 в Хабаровском государственном техническом университете по адресу: 680035, Хабаровск-35, ул.Тихоокеанская, 136, ауд. 315-л

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Хабаровского государственного технического университета. Автореферат разослан 1997 года

Ученый секретарь диссертационного совета ^^ у кандидат физико-математических наук А.Д.Ухлов

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Работа посвящена нахождению точных констант с неравенствах для положительных линейных и сублинейных операторов, действующих на конусах монотонных функции.

Вопрос о точной константе сопровождает многие задачи математического анализа. Начиная с классической монографии Г.Г.Харди, Дж.Литглвуда и Г.По-лиа "Неравенства", многочисленные примеры такого сорта можно найти в литературе по вариационному исчислению (Г.Блнсс, М.А.Лаврентьев и Л.А.Люстернпк, Н.И.Ахнезер, и др.) экстремальным задачам, теории приближений (В.М.Тихомиров) и многим другим областям. С развитием функционального анализа, теории линейных преобразовании, задача о точной константе, как значении нормы некоторого оператора, приобрела новый смысл и, фактически, неотделима от хорошо известной задачи об его ограниченности.

В последнее время возобновился интерес к неравенствам типа Харди на монотонных функциях, значение которых для теории ортогональных рядов еще в 50-х годах было отмечено С.Б.Стечкиным. Для простейшего оператора интегрирования Харди критерий его ограниченности в весовой лебеговской норме па монотонных функциях был получен Д.Бондом, С.Г.Крейном и Е.М.Семеновым, а затем, в явном виде, М.Арнньо и Б.Макенхоуптом. Эти результаты дали импульс серии работ по следующим направлениям:

изучение случаев различных весов и индексов суммирования, переход к операторам и пространствам более общего типа, оценка и вычисление норм, и нашли обобщение в статьях К.Андерсена, Е.И.Бережного, М.Л.Гольдмана, К.Нойгебауэра, Э.Сойера, В.Д.Степанова, Г.Хайнига, многих других авторов. В настоящее время проблематика интенсивно развивается.

Цель работы - исследовать в возможно более общем виде задачу о нахождении точной константы в неравенстве для положительных операторов, выполненном на классе монотонных неотрицательных функций.

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы математического анализа и теории функцнй, при этом наиболее интенсивно применены методы теории интегральных операторов и теории нормированных пространств.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты можно разделить на три основные группы.

1. Найдена точная константа в неравенстве для монотонных функций и интегральных операторов, действующих в весовых лебеговых пространствах.

2. Получена точная константа в неравенстве (I), выполненном для монотонных функций, при дополнительном требовании выпуклости и вогнутости операторов и пространств.

3. Результаты обобщены для классов квазимонотонных или радиально монотонных функций, а также даны примеры применения результатов для изучения ограниченности операторов, не являющихся положительными.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть применены в теории интерполяции, в теории функциональных пространств и интегральных уравнении.

Апробация работы. Результаты обсуждены на научно-реферативном семинаре "Функциональный анализ" под рук. профессора В.Д.Степанова на кафедре Высшей математики ХГТУ, на Российско-Японской конференции "Интегральные уравнения математической физики" (Хабаровск, сент. 1993 г.), на заседании секции "Анализ и геометрия" II Сибирского Конгресса по индустриальной и прикладной математике (Новосибирск, июнь 1996 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 1993-96 годах в работах [I-4], список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разделенных на 22 параграфа, и списка литературы. Объем диссертации - 115 страниц, подготовленных в редакторской системе WinWord 2.0. Библиография включает 94 наименования.

Во введении приводится краткий обзор литературы и сформулированы основные результаты диссертации.

Результаты I главы дополняют результаты работ Б.Берга, В.И.Буренкова, Л.Э.Перссона, где получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенств для операторов типа Харди, действующих на конусах монотонных функций. Кроме того, результаты дополняют работу Ш.Лая.

Пусть линейное пространство вещественнозначных измеримых функций, заданных на [0,со), и,уе5 -локально суммируемые на (0,со) весовые функции.а Т- интегральный оператор вида

выполнены для всех монотонных неотрицательных функций / е5.

В § 1.1 установлена точная константа в интегральном неравенстве

выполненном на классе неотрицательных, невозрастающих или неубывающих функций g, когда 0< р<д<«з, 0<р<\. Подобная задача решена для обратного неравенства

при условии, что 1 < рйд<<х>. Основной результат главы - следующая теорема, сформулированная в § 1.1.

Теорема 1.1. Для интегрального оператора Т вида (1) с неотрицательным ядром к(х,у) справедливы следующие утверждения.

(а) Пусть 0 < р < д <°о, 0 < р<\. Если неравенство (2) с конечной правой частью выполнено для всех неотрицательных невозрастающих функций g, то наименьшее значение константы С определяется формулой

(б) Пусть 1 < р < <7 < со. Если неравенство (3) с конечной правой частью выполнено для всех невозрастающих функций g> О, то наименьшее значение константы С имеет вид

Заметим, что для неубывающих функций в диссертации сформулированы аналогичные утверждения, не приводимые здесь для краткости.

Доказательство Теоремы 1.1 проводится в § 1.2. В § 1.3 Теорема 1.1 дополняется следующим результатом.

Теорема 1.2. Пусть 0< /><1<^<оо. и Т2 - интегральные операторы вида (1.1.1) с неотрицательными ядрами к^ (х, у) и к-,(х, у) соответственно. Если неравенство

с конечной правой частью выполнено для всех неотрицательных невозрастающих функций g, то наименьшее значение конс танты С равно

Теоремы 1.1, 1.2 обобщены для квазимонотонных функций, соответствующий результат доказан в § 1.4.

Пусть 5 - пространство, определенное выше. Неотрицательную функцию / е5 назовем квазимонотонной, если существует функция ф ф>0 такая, что /Уф монотонна на (0,оо). Если //ф не возрастает, то /назовем ф-убыва-ющей, а если //ф не убывает, то ф-возрастающей. Справедлива

Теорема 1.3. Пусть ф 6 5 - неотрицательная функция. Для интегрального оператора Т вида (4) с ядром к