Моделирование ферромагнитных материалов в COMSOL Multiphysics®

Ферромагнитные материалы встречаются в самых разных электронных компонентах и устройствах. При электродинамических расчетах мы сталкиваемся с магнитными эффектами как в процессе моделирования широких прикладных задач, так и для анализа ряда характеристик используемых материалов (например, механической прочности конструкционной стали). В обоих случаях важно учитывать, что детали из ферромагнитных материалов изменяют окружающее их магнитное поле, что может повлиять на нормальную работу устройств и систем.

Чтобы понять, как отличаются магнитные свойства разных материалов, будет полезно их систематизировать и разделить на несколько классов. Самая простая классификация магнитных материалов такова:

1. Слабо магнитные материалы
   1. Слабо влияют на внешние приложенные магнитные поля (к ним относятся, например, парамагнитные и диамагнитные материалы)
   1. Эффективно концентрируют внешний магнитный поток, но не обладают собственной намагниченностью. В области без внешнего магнитного поля они не создают своего поля
   1. Даже в отсутствие внешнего приложенного магнитного поля создают магнитный поток

   Материалы второй и третьей категории называются ферромагнитными.

   Эта классификация, впрочем, не лишена недостатков: разделение на мягкие стали и постоянные магниты не всегда однозначно, и некоторые материалы могут проявлять промежуточные свойства. У материала может быть небольшая намагниченность в отсутствие внешних источников (как у постоянного магнита), которая будет значительно возрастать во внешнем магнитном поле (как у мягкой стали).

   Кроме того, материал может проявлять гистерезисные свойства, то есть намагниченность будет изменяться при включении и выключении внешней нагрузки. Внешняя нагрузка может быть не обязательно магнитным полем, создаваемым электрическим током, но и физическим смещением (как показано на видео ниже).

   При работе с ферромагнитными материалами нужно уметь и иметь возможность описывать самые разные их свойства и особенности поведения. В этой статье мы рассмотрим доступный в пакете COMSOL® функционал для моделирования ферромагнитных материалов.

   Обзор используемых магнитных материальных уравнений

   Различные свойства магнитных материалов — желательные и нежелательные — проявляются в разных системах, и важно уметь описывать диапазон различных свойств.

   Модуль AC/DC позволяет учитывать при моделировании все виды типичного поведения магнитных материалов благодаря восьми предопределенным материальным уравнениям, перечисленным в первом столбце таблицы внизу, а также позволяет задавать так называемые внешние материалы (external material) при помощи пользовательских скриптов. Слабомагнитные материалы обычно описываются с помощью первой опции, Relative permeability (Относительная проницаемость), которая выбрана по умолчанию в программном пакете COMSOL Multiphysics®.

   Для описания ферромагнитных материалов используйте одну из оставшихся опций. Первые четыре опции в таблице лучше подходят для мягких сталей, а последние — для постоянных магнитов. В обеих этих группах опции упорядочены по нарастанию сложности материальных уравнений и увеличению числа свойств, описывающих динамику намагниченности.

   Материальные уравнения и соотношения Soft Iron (Fully Time-dependent) (Мягкая сталь (исследование во временной области)) Soft Iron (AC Feeding) (Мягкая сталь (исследование в частотной области)) Permanent Magnets (Fully Time-Dependent) (Постоянные магниты (исследование во временной области)) Требуемая информация Relative Permeability (Относительная проницаемость) ✓ ✓ 1 скалярная (или тензорная) величина Magnetic Losses (Магнитные потери) ✓ 2 скалярных (или тензорных) величины B-H Curve (Кривая намагничивания) ✓ 1 функция Effective B-H Curve (Эффективная кривая намагничивания)* ✓ 1 функция Magnetization (Намагниченность) ✓ 1 векторная величина Remanent Flux Density (Остаточная магнитная индукция) ✓ 1 скалярная (или тензорная) величина и 1 векторная величина B-H Nonlinear Permanent Magnet (Нелинейный постоянный магнит с B-H-кривой) ✓ Функция и направление Модель гистерезиса Джилса-Атертона ✓ ✓ 5 скалярных (или тензорных) величин External Magnetic Material (Внешний магнитный материал)** ✓ ✓ ✓ Сторонний скомпилированный код

   Сводная таблица по вариантам физических законов для моделирования твердых и мягких сталей и количеству необходимых исходных параметров и/или функций. *Эффективная кривая намагничивания может быть получена путем преобразования стандартной кривой с помощью приложения из Библиотеки приложений модуля AC/DC. Подробнее об этих возможностях рассказывается в предыдущей записи нашего блога.) ** External Magnetic Material (Внешний магнитный материал) является подопцией для кривой намагничивания (B-H curve). Дополнительная информация о данном условии содержится в нашем материале о задании и доступе к моделям внешних материалов.

   Восемь графиков в осях B и H в нижеследующем разделе иллюстрируют типичную динамику намагниченности для различных материальных уравнений, приведенных в таблице выше. На графиках вдоль оси y откладывается магнитная индукция B. Эта величина напрямую измеряется и однозначно интерпретируется. Ось x показывает магнитное поле H. Интерпретация этой величины зависит от исследуемой системы, как будет показано на примере ниже.

   Для описания указанных графиков будем рассматривать идеальную магнитную цепь с магнитным тором длины L, равномерно обмотанным N витками катушки с током I. В этом случае H = N*I/L. В зависимости от прикладной задачи, производители используют такую конструкцию (или рамку Эпштейна) для измерения кривых намагничивания.

   Мы также приведем несколько примеров использования этих условий в обычных магнитных материалах и применения в типичных прикладных задачах.

   Соотношения для мягких (в магнитном отношении) сталей
   • Можно использовать для описания мягких сталей в малых полях
   • Пластинчатые сердечники силовых трансформаторов при коротком замыкании очень хорошо описываются этим соотношение
   • Типично для всех ферромагнитных материалов на высоких частотах
   • Для ферритов, используемых в высокочастотных катушках индуктивности, трансформаторах и концентраторах потока, такие данные обычно указаны в технических спецификациях
   • Самое классическое уравнение для описания мягких в магнитном отношении сталей
   • Учитывает магнитное насыщение
   • Используется для описания подвижных магнитных контуров с переменным магнитным сопротивлением, например, в электродвигателях и генераторах
   • При малых магнитных полях совпадает с материальным соотношением Relative Permeability (Относительная проницаемость)
   • Обобщение материального соотношения B-H Curve (Кривая намагничивания) для случая питания переменным током при исследовании в частотной области
   • Работает для стационарных контуров или случаев, когда геометрия цепи меняется медленно по сравнению с внешним переменным магнитным полем
   • Это условие можно использовать для ферромагнитных деталей в установках индукционного нагрева или сердечниках трансформаторов в разомкнутых цепях
   • При малых магнитных полях совпадает с материальным соотношением Relative Permeability (Относительная проницаемость)
   Соотношения для постоянных магнитов
   • Типовое описание редкоземельных постоянных магнитов
     • Используется в моделях современных электрических двигателей, генераторов, датчиков
     • Обобщение материального соотношения Magnetization (Намагниченность)
     • Позволяет лучше учитывать эффекты размагничивания под действием внешнего поля, направленного против вектора текущей намагниченности
     • Можно использовать для сплавов типа альнико при небольших изменениях приложенного поля
     • Доступен в интерфейсах Magnetic Fields (Магнитные поля) и Magnetic Fields, No Current (Магнитные поля, без токов) модуля AC/DC начиная с версии 5.3a программного пакета COMSOL Multiphysics
     • Специальное условие для моделирования размагничивания постоянных магнитов, использующее только данные об одноосных свойствах магнита
     • Часто используется для сплавов типа альнико и редкоземельных магнитов, работающих при высокой температуре
     • Похоже одновременно на соотношения B-H Curve (Кривая намагничивания) и Magnetization (Намагниченность), так как описывает поведение материалов, близкое к материальному соотношению B-H Curve (Кривая намагничивания), но сдвигает кривую в плоскости B-H
     • Гибкое уравнение для моделирования разных материалов, содержащее большое число параметров
     • Можно использовать для точной подстройки расчетов потерь в электродвигателях и других электрических машинах, хотя применимость модели иногда и ограничена сложностью получения некоторых параметров материала

     Обратите внимание, что мы не упоминули опцию external magnetic material (Внешний магнитный материал), указанную в первой таблице. Это дополнительная опция к материальному уравнению B-H Curve (Кривая намагничивания), позволяющая моделировать самые общие произвольные законы для магнитных материалов. Подробный пример изложен в предыдущей статье. Эта опция обычно используется для описания пользовательских моделей гистерезиса с условной логикой.

     Все параметры и функции, упомянутые в таблицах выше, могут зависеть от остальных параметров модели. Это чрезвычайно важно: таким образом функция может учитывать мультифизические эффекты или свободно обрабатывать нелинейные эффекты в материалах.

     В учебной модели топологической оптимизации магнитной цепи приведен пример, в котором нелинейная зависимость вручную добавляется к опции Relative Permeability (Относительная проницаемость), воспроизводя поведение опции B-H Curve (Кривая намагничивания). Этот пример показывает, что для перехода от одной опции к другой достаточно написать в поле для относительной проницаемости выражение murOfB(mf.normB). Проницаемость затем задается равной 1-p^2+p^2*murOfB(mf.normB). Этот закон описывает воздух при p = 0 и мягкую сталь при p = 1. Значение p в рамках модели выбирается во время топологической оптимизации. Обратите внимание, что задание функции от переменной normB может потребовать дополнительных действий для улучшения сходимости, что подробно описано в документации к указанной модели. В этой модели была активирована опция "Split complex variables in real and imaginary parts" (Разбивать комплексные переменные на действительную и мнимую части).

     Другая прикладная задача, в которой полезно задавать проницаемость как функцию, — индукционный нагрев. В этом случае материал проходит через точку Кюри. Обычно для этого проницаемость задается в виде функции типа 1+f(T)*(mur(normB)-1), где f(T) — функция, равная единице при низких температурах, понижающаяся до нуля при температуре Кюри и равная нулю выше температуры Кюри. Этот метод используется для точного моделироватния различных процессов индукционного нагрева сталей (например, закалки). В общем случае функциональные зависимости параметров кривых намагничивания от температуры можно взять из статей и технических спецификаций и задать с помощью того же метода.

     Многие параметры, описанные в таблице как “скаляры” и “функции”, можно задать как тензоры или наборы функций, описывающих компоненты вектора или тензора. Это важно, потому что магнитные свойства по своей природе являются векторными. Модуль AC/DC позволяет задавать все описанные в первой таблице свойства для полностью анизотропных материалов. Такой пример описан и обсуждается в учебной модели векторного гистерезиса, которая использует анизотропный материал Джилса-Атертона и воспроизводит опубликованные данные.

     Векторная природа полей важна для моделирования подвижного магнитного оборудования. На анимации ниже показана плотность магнитного потока во вращающемся оборудовании, в которой внешняя область описана согласно модели гистерезиса Джилса-Атертона. Слева вращается область с гистерезисом, а справа — внутренний магнит. Все компоненты векторов B и H при переходе от левого изображения к правому изменяются так, как должны изменяться векторы при вращении. Таким образом, правая анимация выглядит так же, как левая анимация при жестком вращении тела.

     Магнитная индукция во вращающемся оборудовании, включающем материал с гистерезисом, показывает, что векторная природа полей приводит к одинаковым локальным полям в системе отсчета, связанной с источником магнитного поля (слева), и в системе отсчета, связанной с областью с гистерезисом (справа).

     Моделирование ферромагнитных материалов в COMSOL Multiphysics®

     Теперь рассмотрим пример, в котором для одной и той же детали из ферромагнитного материала последовательно используются разные законы, моделирующие свойства детали в разных процессах. Мы принимаем за данность, что нам доступна только некоторая информация о свойствах материала.

     На рисунке ниже изображена модель магнитного контура. Красным отмечена деталь, выполненная из мягкой стали с нелинейным поведением, малым остаточным магнитным потоком и кривой намагничивания с гистерезисом. Для нее использовали материал Soft Iron (Мягкая сталь) из Библиотеки материалов модуля AC/DC: излом кривой достигает 1,5 Тл при значении 5400 А/м. Синим отмечена катушка, обвитая вокруг сердечника из мягкой стали. Зеленая область — интересующая нас деталь, которую мы и будем изучать, используя разные законы. Например, это может быть деталь из сплава альнико (AlNiCo) без начальной намагниченности.

     Геометрия магнитной цепи. На схеме показаны мягкая сталь (красная область), катушка (синяя область) и сплав типа альнико (зеленая область). Изначально брусок из альнико не намагничен; при появлении тока в катушке он намагничивается, а при извлечении из магнитной цепи (вверх по стрелке) размагничивается.

     Мы можем моделировать четыре рабочих режима в магнитной цепи:

     1. Деталь из сплава альнико изначально не намагничена; при протекании тока в катушке деталь намагничивается
     2. Деталь из сплава альнико намагничивается током, текущим на шаге 1, и остается намагниченной даже после исчезновения тока в катушке
     3. Намагниченная деталь из сплава альнико в конце шага 2 извлекается из сердечника и частично размагничивается
     4. Размагниченная деталь из сплава альнико включается обратно в магнитную цепь; остаточный магнитный поток остается почти таким же малым, каким он был вне магнитной цепи

     Было бы заманчиво настроить материальные соотношения один раз для всего рабочего цикла. Это возможно сделать, но для этого нам понадобятся специальные независимые измерения от производителя стали. Например, можно легко узнать значение напряженности магнитного поля H, при котором материал полностью намагничен, соответствующее значение остаточного магнитного потока и вид кривой размагничивания.

     Но для этого примера давайте предположим, что насыщение достигается при приложенном внешнем магнитном поле напряженностью 30 кА/м, а одноосная кривая размагничивания во втором квадранте плоскости B-H приведена в таблице ниже. Кривая начинается с остаточного магнитной индукции Br при H = 0 и стремится к B = 0 при отрицательном значении коэрцитивного поля Hc. Обратите внимание, что данные, приведенные в таблице, полностью соответствуют материалу, который вы найдете в COMSOL Multiphysics — это материал Demagnetizable Nonlinear Permanent Magnet (Размагничиваемый нелинейный постоянный магнит) в Библиотеке материалов модуля AC/DC.

     Если вы хотите использовать свои собственные данные, изучите встроенный типовой материал. Обратите внимание, что вам нужно будет указать значение коэрцитивного магнитного поля Hc и соответствующую кривую размагничивания. Так как кривая размагничивания обычно расположена во втором квадранте, ее нужно сдвинуть вдоль оси H на величину abs(Hc). После такого сдвига кривая в плоскости B-H будет начинаться в точке (0, 0) и достигнет значения остаточной плотности потока Br в точке abs(Hc). Подробные указания содержатся в Руководстве пользователя модуля AC/DC.

     H, кА/м B, Тл -50 (коэрцитивное магнитное поле Hc) 0 -48 0.5 -47 0.7 -46 0.85 -44 0.96 -40 1.03 -35 1.08 -30 1.11 -20 1.155 -10 1.187 0 1.2 (остаточная индукция, Br)

     Данные для второго квадранта кривой намагничивания для такого материала, как Demagnetizable Nonlinear Permanent Magnet (Размагничиваемый нелинейный постоянный магнит) содержатся в Библиотеке материалов модуля AC/DC.

     Траектория горизонтального компонента магнитной индукции в центре компонента из сплава Альнико для каждого из четырех описанных процессов представлена на иллюстрации ниже. Цвета обозначают следующие стадии:

     1. Синяя кривая: при включении тока (этот шаг процесса начинается слева с точки H = 0 при нулевом токе и достигает максимальной намагниченности справа)
     2. Зеленая кривая: процесс отключения тока (начинается справа, достигает конечной магнитной индукции слева на уровне H = 0 при нулевом токе в катушке)
     3. Красная кривая: процесс размагничивания при извлечении образца из магнитной цепи; точно соответствует данным в таблице выше
     4. Голубая кривая: повторное включение магнита в цепь; процесс начинается слева (образец вне контура) и заканчивается справа при полностью включенном в в контур образце магнита

     Горизонтальный компонент магнитной индукции в центре компонента из сплава Альнико для каждого из четырех описанных процессов.

     В следующем видеоматериале представлены условия, приложенные к компоненту из сплава Альнико, а также итоговые траектории, представленные на графике выше.

     Обратите внимание, что эти исследования представляют собой достаточно простые и надежные стационарные параметрические исследования, которые основаны на предыдущем решении. Подобная настройка позволяет нам с легкостью выполнять трехмерное моделирование или использовать более сложную геометрию. Как уже было отмечено, мы использовали данные предыдущего решения для того, чтобы связать друг с другом кривые, отвечающие различным областям. Именно из-за этого на кривой, представленной на графике выше, заметны небольшие разрывы.

     Эту модель можно подстроить так, чтобы избавиться от разрывов, но появляющиеся при этом дополнительные параметры потребуют проведения новых измерений. Следуя процедуре, изложенной выше, мы убедились, что проводить такие измерения не обязательно, и правдоподобные решения можно найти и на основе стандартных доступных данных.

     Следует сделать одно замечание о величине, отложенной вдоль оси x на графике выше. Величина, отложенная вдоль оси x, на шаге 1 и шаге 2 естественным образом связана с током, текущим через катушку. На шаге 3 и шаге 4 ток в катушке не течет, и напряженность магнитного поля зависит от пространственного перемещения деталей. Таким образом, не так просто однозначно выбрать величину, которую разумно откладывать вдоль оси x. На шаге 3 мы использовали встроенную переменную axialH. На шаге 4 мы использовали нормированное смещение детали от магнитной цепи. При изучении кривой намагничивания важно помнить о том, какие из определений были использованы, какими были цели исследования и какие приборы использовались.

     На этом примере мы показали, что мы можем менять материальные соотношения в зависимости от задачи и использовать произвольные выражения, построенные на ранее рассчитанных переменных. Здесь мы рассмотрели самый простой случай, чтобы не усложнять задачу. Более строгое и сложное описание трехмерной модели извлечения и вставки бруска из сплава альнико в магнитный контур вы найдете в этой модели саморазмагничивания. В эту модель добавлена локальная линейная модель отдачи при вставке магнита.

     Заключение

     В этой статье мы рассмотрели большой набор опций для моделирования магнитных материалов, доступных в программном пакете COMSOL Multiphysics и модуле AC/DC. Мы начали с основных принципов электромагнетизма и набора встроенных условий и изучили, какие материальные соотношения лучше подходят для различных материалов и устройств. Мы также указали, какие функциональные возможности используются для мультифизического моделирования и задания более сложных условий. Несмотря на это, мы затронули только малую часть соображений, которые надо учесть при выборе материальных соотношений.

     Мы советуем вам изучить дополнительную литературу, указанную ниже, и/или связаться с нами, чтобы узнать больше о программном пакете COMSOL.

     Дальнейшие шаги

     Узнайте о том, как моделировать магнитные материалы с помощью модуля AC/DC. Если вы хотите попробовать программный пакет в работе, на странице продукта вы можете оставить заявку на демонстрацию.

     📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎