научная статья по теме НЕСТАНДАРТНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ Физика

Текст научной статьи на тему «НЕСТАНДАРТНАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ»

ПОВЕРХНОСТЬ. РЕНТГЕНОВСКИЕ, СИНХРОТРОННЫЕ И НЕЙТРОННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, 2010, № 11, с. 92-101

Кабардино-Балкарский государственный университет имени Х.М. Бербекова, Нальчик, Россия

Поступила в редакцию 20.01.2010 г.

В работе представлен новый вариант динамической теории дифракции рентгеновских лучей в идеальных кристаллах. Теория основывается на прямом анализе уравнений Максвелла с учетом модельных представлений о характере взаимодействия рентгеновского излучения с кристаллом, соответствующих теории Эвальда—Лауэ. В качестве математического метода нахождения приближенного решения дифракционного уравнения используется модификация метода многих масштабов. Полученные результаты соответствуют известным выводам динамической теории дифракции за пределами области полного внешнего отражения. Получены выражения для амплитудных коэффициентов отражения дифрагированной и зеркальной волн для произвольных углов, включая область полного внешнего отражения.

В теории динамического рассеяния рентгеновских лучей в кристалле можно выделить несколько основных подходов.

Теория Дарвина основывается на модели кристалла по Брэггу, когда кристалл рассматривается как семейство параллельных кристаллических плоскостей. Отражение рентгеновской волны рассматривается как результат последовательного прохождения и многократного отражения от плоскостей. Определение амплитуды дифрагированной волны сводится при этом к решению рекуррентных соотношений, связывающих между собой амплитуды прошедших и рассеянных волн при прохождении через данную атомную плоскость. По существу теория Дарвина представляет собой прямую экстраполяцию оптической задачи о распространении света в слоистой среде на случай длин волн рентгеновского диапазона.

Дальнейшим развитием теоретических представлений о характере распространения рентгеновских волн в кристалле в условиях динамического рассеяния явилась теория Эвальда—Лауэ. В рамках этой теории впервые формулируются модельные представления о взаимодействии рентгеновского излучения с кристаллом, имея в виду, что длина рентгеновской волны сравнима с межатомными расстояниями. Тем самым стандартное континуальное приближение электродинамики сплошных сред оказывается неприменимым, и требуется учет рассеяния на отдельных зарядах. Как известно, подобный учет приводит к формализму трехмерно-периодической диэлектрической проницаемости е(г) или поляризуемости х(г) с периодами решетки кристалла. Теория Эвальда—Лауэ исходит из концепции единого волнового поля, которое возникает

в кристалле в условиях динамического рассеяния. В двухволновом приближении волновое поле представляет собой суперпозицию преломленной и дифрагированной волн. Определение амплитуд поля сводится к решению некоторого дисперсионного уравнения, следующего из фундаментальных уравнений теории.

Несмотря на ряд безусловных достижений в интерпретации и теоретическом предсказании экспериментальных результатов по динамическому рентгеновскому рассеянию в кристаллах, как теория Эвальда—Лауэ, так и, в особенности, теория Дарвина, имеют принципиальное ограничение — они описывают динамическую дифракцию только в идеальных кристаллах.

Необходимость учета всевозможных отклонений от идеальной периодичности в кристалле, и прежде всего деформаций, привела к созданию обобщенной динамической теории, развитой Така-ги и Топеном. Она основывается на представлении волнового поля в виде суперпозиции проходящей и дифрагированной волн с медленно меняющимися амплитудами, зависящими от координат, что приводит к уравнениям Такаги — системе дифференциальных уравнений относительно амплитуд полей. Такой формализм дает возможность описания динамической дифракции в искаженном кристалле, поскольку в представлении волновых полей могут быть явно учтены нарушения идеальной периодичности. Соответственно, уравнения Такаги становятся системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Существенно при этом, что система Такаги "укороченная" — в ней отброшены вторые производные амплитуд полей по координатам. С одной стороны, это значительно облегчает теоретическое рассмот-

рение и делает обозримым решение ряда дифракционных задач в стандартных случаях геометрии дифракции, когда подобное упрощение оказывается оправданным. С другой стороны, уравнения Та-каги оказываются неприменимыми в условиях, скажем, скользящей геометрии дифракции; тогда приходится решать дифференциальные уравнения третьего или даже четвертого порядков [1].

Принципиальный недостаток процедуры "укорочения" уравнений связан с невозможностью корректной постановки граничных условий на границе кристалл—вакуум для амплитуд полей. Вместо известных классических условий непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей ставятся интуитивно ясные, но не согласующиеся с уравнениями Максвелла граничные условия типа задания нормальных компонент амплитуд полей на поверхности кристалла. Разумеется, решения таких граничных задач оказываются применимыми лишь для достаточно больших (точнее, значительно превышающих угол полного внешнего отражения) углах падения и выхода излучения.

В результате при рассмотрении дифракционных схем типа скользящей дифракции теория сталкивается с трудностями, связанными с необходимостью решения уравнений третьего или четвертого порядка, которые в случае кристалла с деформацией решетки становятся практически непреодолимыми.

Вместе с тем уравнения Максвелла — это уравнения первого порядка, или при переходе, например, к электрическому полю — второго порядка в "скалярном" случае одного волнового уравнения. Именно подобная структура уравнений согласуется с упомянутыми классическими граничными условиями. Это значит, что требование корректного учета граничных условий в любой теоретической схеме дифракции практически однозначно приводит к известной структуре волнового уравнения, следующего из уравнений Максвелла.

Таким образом, для преодоления указанных трудностей необходимо строить теорию, прямо опирающуюся на уравнения Максвелла с применением модельных представлений о поляризуемости кристалла в рентгеновском диапазоне длин волн.

ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИФРАКЦИИ И ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ

Модельные представления о кристалле и распространяющемся в нем рентгеновском излучении сводятся к следующему.

На кристалл из вакуума падает плоская монохроматическая волна. Граница кристалл—вакуум рассматривается как геометрическая, так что оказываются применимыми классические граничные условия из оптики.

Единое волновое поле в кристалле описывается с помощью фундаментальных уравнений Максвел-

ла, дополненных материальным уравнением Б = = е(г)Е с трехмерно-периодической с периодами решетки диэлектрической проницаемостью е(г). Тем самым предполагается линейность и изотропность среды в рентгеновском диапазоне длин волн, а также локальность связи между Б и Е. Возможная зависимость от времени не учитывается, тем самым исключается возможность некогерентного (в смысле изменения частоты излучения) рассеяния. Как видно, указанные предположения вполне соответствуют модели, положенной в основу теории Эваль-да—Лауэ, если не конкретизировать функциональный вид е(г).

Уравнения Максвелла как уравнения электромагнитных волн в диэлектрике в отсутствие дисперсии могут быть записаны в виде (обозначения здесь и далее по возможности стандартные):

гоШ =1 дт = 11(1 + Х(г'))Е = + х(г'))?; (3)

Эти уравнения дополняются материальными соотношениями

Б = б(г ')Е = (1 + х(г '))Е; В = |Н = Н. (5)

Как обычно, будем считать, что зависимость Е и Н от времени гармоническая:

Е( г', О = Е (г ')ехр(-Ппч 0; Н( г', 0 = Н (г ')ехр(-Ппч г). Имеем систему:

rotH = i(1 + x(r '))f = -ik(1 + x(r '))E.

Здесь и далее для экономии включаем множитель 2я в к: 2пк —► к. От системы (6) стандартным путем приходим к основному уравнению:

rotrotE - к2(1 + х(г'))E = 0. (7)

В данной работе мы рассмотрим случай идеального кристалла. Это даст возможность сопоставить выводы предлагаемого формализма с известными теоретическими результатами. Выберем модель кристалла х(г') в виде:

X(г') = Xо + Xнexp(i2nHr') + хнexp(-i2nHr'). (8)

Далее, как и для к, будем включать 2я в H: 2яИ —► —► H. Тогда для (7) имеем:

rotrotE(r') - к (1 + хо + Xн exp(iHr') + +Xh exp(-iHr '))E(r') = 0.

Для корректного учета вклада различных членов в (9) при использовании методов теории возмущений необходимо привести его к безразмерному виду. Эта процедура предполагает выбор некоторого характерного пространственного масштаба задачи. Очевидно, таковым в нашей задаче является параметр, определяющий обратную решетку, — длина вектора обратной решетки

H H = h; Hr' = hr; г = Hr

rotrotE(r) - к (1 + Xo + Xh exp(ihr) + +Xh exp(-ihr))E(r) = 0;

Уравнение (10) не может быть решено точно. Соответственно, требуется применить какой-либо способ приближенного решения. Есть два основных пути анализа (10). В первом случае, учитывая, что х(г') 1, соотношение (10) представляется в виде неоднородного уравнения, правая часть которого рассматривается как малое возмущение, задающее поле падающей волны:

Приближенное решение ищется в пространстве вне рассеивающего кристалла на больших расстояниях от него в форме первого члена ряда борнов-ского разложения. Применимость такого подхода ограничивается малостью сечения рассеяния по сравнению с геометрической площадью сечения кристалла. Как известно, такой подход приводит к кинематической теории [2].

Во втором случае из уравнения (10) строятся два варианта динамической теории. В первом варианте решение (10) ищется в форме блоховской волны, представляемой в виде бесконечного ряда плоских волн с волновыми векторами, соответствующими преломленной волне и дифрагированным волнам в кристалле. Это блоховская волна интерпретируется как многоволновое решение динамической теории. Использование разложе

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎