Дисперсия фазовой скорости волны. Групповая скорость
Пространство, в котором распространяется электромагнитная волна, может содержать свободные носители заряда (электроны, ионы), а также электрические или магнитные диполи, которые могут двигаться под действием электрического и магнитного полей. Рассмотрим среду в которой имеются свободные носители заряда и, следовательно, ненулевой ток проводимости . Тогда уравнение Максвелла
Может быть записано как
Эта величина носит название Относительная комплексная диэлектрическая проницаемость среды.
Если в среде имеются магнитные диполи, то магнитная проницаемость среды также оказывается комплексной: и уравнения Максвелла в комплексной форме принимают вид:
Вещественные части проницаемостей характеризуют запасаемую в электрическом или магнитном поле энергию. Мнимые части проницаемостей характеризуют рассеяние (потери) энергии в среде. Как вещественные, так и мнимые части проницаемостей среды зависят от частоты. Из формулы (2.1.2) видно, что в частном случае наличия свободных носителей заряда с ростом частоты растет мнимая часть относительной диэлектрической проницаемости среды. И во всех других случаях наличия ненулевых мнимых частей проницаемости эти мнимые части растут с ростом частоты, поскольку с ростом частоты растет интенсивность движения носителей заряда или диполей и, следовательно, растет поглощение энергии электромагнитного поля.
Для плоской волны, распространяющейся в среде с комплексной диэлектрической и магнитной проницаемостями, волновое уравнение для напряженности электрического поля принимает вид:
Из дисперсионного уравнения получаем:
Из того, что ek и mk комплексны, следует, что волновое число K также комплексно:
Пусть и . Тогда воспользовавшись формулами приближенных вычислений, получим:
Где — Постоянная распространения, —Постоянная (или декремент) затухания.
Где использовано общепринятое обозначение (тангенс дельта)
Используя введенные обозначения, запишем решение уравнений Максвелла для плоской волны в следующем виде:
— Множитель в решении уравнений Максвелла, который определяет затухание волны, вызванное поглощением энергии за счет движения свободных носителей заряда и «трения» при переполяризации среды в переменном поле. Параметр , называемый декрементом или постоянной затухания волны, является функцией частоты. С ростом частоты затухание волны, как правило, растет.
В вакууме и , соответственно, , то есть в вакууме волна не затухает. Таким образом, если или содержат в себе мнимую часть ( , ), то волновое число становится комплексным, а это означает появление затухания волны.
Рассмотрим два понятия, важных для исследования и описания распространения волн: а) Дисперсия фазовой скорости волны, б) Групповая скорость.
Напомним, что постоянная распространения волны , где фазовая скорость
C – скорость света в вакууме.
В среде, содержащей заряды и диполи, фазовая скорость волны зависит от частоты. См., на пример соотношение (2.1.2). Зависимость фазовой скорости от частоты колебаний называют Дисперсией, А среду, в которой это явление наблюдается, называют дисперсионной средой. В дисперсионных средах скорость распространения сложных сигналов характеризуется Групповой скоростью, которая определяется как скорость движения огибающей сигнала, или скорость перемещения максимальной амплитуды сигнала. Рассмотрим распространение вдоль оси Z радиоимпульса длительностью с несущей частотой (рис. 2.1.1).
Рис. 2.1.1. Движение поверхностей постоянной фазы и постоянной амплитуды.
На рисунке использованы следующие обозначения: — Путь, который поверхность постоянной амплитуды прошла за промежуток времени ; — Путь, который за время Прошла поверхность постоянной фазы. , потому что . Заметим, что длина путь, который поверхность постоянной фазы прошла за промежуток времени , определяется фазовой скоростью:
А длина пути, который поверхность постоянной амплитуды прошла за промежуток времени , определяется групповой скоростью:
Каково же происхождение определения «Групповая скорость»?
Импульс сигнала — это группа волн. Если мы будем наблюдать за импульсом достаточно продолжительное время, мы заметим, что фазовые соотношения между волнами в составе группы изменяются, поэтому происходит движение «заполнения» импульса по отношению к его границам, то есть изменяется взаимное расположение поверхностей постоянной фазы и постоянной амплитуды. Это и означает, что и не равны. Заметим также, что импульс претерпевает два вида изменений: затухает и расплывается. Волны в «группе» затухают, а их фазы становятся разными, потому что становится разной для разных волн. Так расплывается облако по мере движения в небе. Рис.2.1.2. иллюстрирует расплывание огибающей радиоимпульса при его распространении в дисперсионной среде.
Рис.2.1.2. «Расплывание» огибающей группы волн в результате дисперсии фазовой скорости:
А) группа волн в начале процесса распространения в среде с дисперсией;
Б) та же группа через некоторое время.
Для волн со слабым затуханием теория сигналов дает следующее выражение для :
Поскольку для дисперсионной среды
И таким образом
В большинстве случаев в среде с дисперсией . Это случай Нормальной дисперсии. В остальных случаях, например в периодических структурах может оказаться, что . Это случай Аномальной
Дисперсии.
Для среды со слабой нормальной дисперсией
В вакууме . Всегда .
Известный физик теоретик Ричард Филлипс Фейнман (1918 – 1988) в своем знаменитом курсе физики говорит о том, как можно представить себе электромагнитное поле (Фейнмановские лекции по физике, том 6 «Электродинамика», изд. «Мир», Москва 1966 г.). В частности он говорит об искажении спектра световых колебаний, вызванного дисперсией фазовой скорости света, при рассеянии света на каплях дождя: «Хватит ли у вас воображения, чтобы в спектральных кривых увидеть всю ту красоту, которую мы видим, смотря на радугу? У меня — нет». Тем не менее, если вы возьмете в библиотеке Фейнмановские лекции по физике и начнете их читать, то увидите, что они представляют собой не только строгое изложение основ теоретической физики, но и несут в себе красоту построения способов познания окружающей нас Природы.