Трение в кинематических парах. Червячная пара

Предполагается, что рабочие поверхности витка червяка и зуба червячного колеса контактируют в точке В (или В’), т.е. условно принято, что в зацеплении образуется пятиподвижная кинематическая пара. В точке контакта возникают нормальная сила (или ) и сила трения (или ), касательная к поверхности витка червяка и направленная противоположно скорости скольжения. Для дальнейших расчетов удобно найти проекции этих сил на направления, параллельные осям червяка и червячного колеса. Введем систему координат Bxyz, где ось Bx параллельна оси червячного колеса, ось Вy – оси червяка, а ось Bz параллельна линии межосевого расстояния (рис.5.6, б). Если повернуть систему координат Bxyz вокруг оси Bz на угол β, то есть до совмещения оси Вх с линией действия силы трения , то получим систему координат Bx * y * z * . В этом случае ось Bx * будет направлена по касательной к поверхности витка червяка в точке контакта В. Угол β – угол подъема винтовой линии червяка (при β = 0 винтовая линия обращается в кольцевую). Далее повернем новую систему координат Вx * y * z * вокруг оси Bx * на угол α до совмещения оси Вy * с линией действия нормальной силы N. Получим новую систему координат Вx ** y ** z ** , в которой ось Вy ** направлена перпендикулярно поверхности червяка в точке контакта В. Угол α – угол профиля исходного контура (при α=0 виток червяка становится прямобочным). Тогда несложно получить проекции сил и на оси системы координат Вxyz (рис.5.7):

Здесь S – осевая сила на червяке (окружная сила на червячном колесе); P – окружная сила на червяке (осевая на червячном колесе); Т – радиальная сила.

14. Трение в кинематических парах. Винтовая пара.

15. Силовой расчёт механизмов с учетом трения в кинематических парах методом последовательных приближений. Пример: кривошипно-ползунный механизм.

В первом приближении связи считают идеальными, силами трения пренебрегают. По найденным реакциям находят силы трения и повторяют силовой расчет, считая силы трения известными. Если силы реакции, найденные во втором приближении, незначительно (10-20 %) отличаются от сил реакций, найденных в первом приближении, то силовой расчет на этом заканчивается. Если требуется большая точность, то вычисляют следующие приближения до тех пор, пока разница между значениями сил реакций, найденных в последующем и предыдущем приближениях, не окажется меньше допустимого значения.

В качестве примера рассмотрим кривошипно-ползунный механизм, изображенный на рис.4.4. Будем считать массу шатуна 2 пренебрежимо малой (рис.5.8, а); тогда силы реакций, приложенные к этому звену в шарнирах А и В, и , должны быть направлены по линии АВ. Отметим, что при сделанном допущении ползун 3 становится статически определимым.

Первое приближение. Полагая силы трения равными нулю, запишем уравнения кинетостатики для ползуна 3 (рис.5.8, б):

Здесь α – угол наклона звена 2 (и силы реакции ) к линии перемещения ползуна. Отсюда найдем силы реакции в первом приближении:

Приняв, что сила реакции в поступательной паре , найдем силу трения F, действующую на ползун со стороны стойки:

где f – коэффициент трения в поступательной паре. Отметим, что, если , то контакт ползуна и стойки осуществляется по нижней плоскости, и сила трения F приложена так, как показано на рис.5.8, в. Если , то контакт ползуна и стойки происходит по верхней плоскости, и там же действует сила трения F. Направлена сила трения в любом случае против относительной скорости движения ползуна.

Второе приближение. Составим уравнения кинетостатики для ползуна, полагая, что сила трения F, действующая на ползун со стороны стойки, известна и равна (5.19), высота ползуна равна 2h – см. рис.5.8, в, а сила реакции > 0 (направлена вверх).

Отсюда найдем силы реакции во втором приближении:

Из сравнения выражений (5.21) и (5.18) видно, что значения всех сил реакций изменились:

а момент стал ненулевым.

Полагая, что , можно найти силу трения и, считая ее известной, найти следующее, третье приближение, и т.д.

Если сила реакции , т.е. направлена вниз, то второе приближение даст следующий результат:

Сравнивая (5.22) с (5.18), получим:

(к+1)-е приближение. Можно показать, что нормальная сила реакции , найденная в (к+1)-м приближении, в случае, когда G3 – (P + Ф3)tgα > 0, определяется по выражению:

Из анализа соотношения (5.23) следует, что при f tgα < 1 разница между силой реакции , найденной в к-м и (к+1)-м приближениях, уменьшается с ростом к. Это соответствует случаю «малого» угла давления α и «малого» коэффициента трения f. При f tgα > 1 разница между силой реакции , найденной в к-м и (к+1)-м приближениях, с ростом к увеличивается, а сила реакции R03 на каждом приближении меняет знак. При f tgα = 1 сила реакции , найденной в каждом последующем приближении, равна попеременно то 0, то .Это означает, что данный метод при условии f tgα 1 неприменим. Схема, соответствующая этому условию, приведена на рис.5.9.

Если G3 – (P + Ф3)tgα < 0, т.е. < 0 (направлена вниз), то несложно получить выражение:

Из соотношения (5.24) следует, что силу реакции и в этом случае можно найти только тогда, когда f×tgα < 1; в противном случае (как на рис.5.9) метод последовательных приближений неприменим.

16. Силовой расчёт механизмов с учетом трения в КП. Решение нелинейных уравнений силового анализа. Пример: кривошипно-ползунный механизм. Режимы: тяговый, инверсный тяговый, оттормаживания, самоторможения.

Силовой расчет сводится к совместному решению уравнений кинетостатики, содержащих силы трения в качестве дополнительных неизвестных, и полученных выше соотношений, являющихся математическими моделями кинематических пар с трением (см. п.5.2). При отсутствии избыточных связей число неизвестных оказывается при этом равным числу уравнений. Нетрудно, однако, заметить, что уравнения математических моделей кинематических пар с трением содержат нелинейные функции от входящих в них компонент реакций (модуль, знак реакции и т.п.); поэтому и полная система уравнений силового анализа оказывается нелинейной.

Нелинейность уравнений вызывает ряд существенных осложнений при их решении. Во-первых, процесс определения решения становится более трудоемким; как будет показано ниже, в ряде случаев приходится многократно решать системы линейных уравнений. Во-вторых, может обнаружиться, что в рассматриваемом положении механизма при заданных кинематических параметрах движения и заданных коэффициентах трения система уравнений силового расчета вообще не имеет решения. С физической точки зрения это означает, что исследуемое движение для данного механизма с трением оказывается невозможным ни при каких значениях движущих сил. В этом случае обычно говорят о заклинивании механизма. Частным случаем заклинивания является эффект самоторможения: механизм невозможно вывести из состояния покоя, какую бы силу ни прикладывать к его входному звену. Увеличение движущей силы вызывает в таком механизме увеличение сил трения, уравновешивающих ее действие. В-третьих, система нелинейных уравнений может иметь и несколько решений; иными словами, при одних и тех же активных силах механизм может совершать заданное движение при различных движущих силах и различных значениях реакций. Обычно это происходит в таких положениях механизма, в которых возможно самоторможение, но активные силы и силы инерции имеют положительную мощность, т.е. «помогают» движущей силе, вызывая эффект «оттормаживания». Выяснить, какое из решений будет соответствовать действительным значения реакций и движущих сил, не удается, если оставаться в рамках исходной динамической модели жесткого механизма.

Расчет плоского рычажного механизма. Обратимся к тому же кривошипно-ползунному механизму, что и при рассмотрении первого метода (см. рис.4.4.). Как и ранее, будем считать массу шатуна 2 пренебрежимо малой, тогда силы реакций, приложенные к этому звену в шарнирах А и В, и , должны быть направлены по линии АВ. Зная направление силы , можно составить независимую систему уравнений кинетостатики для ползуна 3. Полагая, что ползун движется влево, т.е. < 0 и и используя модель поступательной пары с трением, описываемую уравнением (5.10), получаем следующую систему уравнений кинетостатики для ползуна (рис.5.10):

–R03a + fR03h = 0.

Здесь а – расстояние от оси шарнира В до линии действия силы реакции , fR03signR03 =F – сила трения. В системе уравнений (5.25) три неизвестных: R23, R03, a. Из третьего уравнения (5.25) находим: a = fh. Из второго уравнения (5.25) выразим R23: . Подставляя R23 в первое уравнение (5.25), получим R03:

Это уравнение – нелинейное, так как функция signR03 – нелинейна. Найдем решение этого уравнения при различных соотношениях между α и f, а также G3 и Р + Ф3 . Рассмотрим четыре возможных варианта (табл. 5.3):

«малое» трение: f < ctgα «большое» трение: f > ctgα G3ctgα – (P + Ф3) < 0 Вариант 1.1. Вариант 1.2. G3ctgα – (P + Ф3) > 0 Вариант 2.1. Вариант 2.2.

17. Силовой расчет червячной передачи с учетом трения в ВКП. Режимы: тяговый, инверсный тяговый, оттормаживания, самоторможения.

Силовой расчет червячной передачи (рис. 5.13). Червячная передача содержит одну высшую пятиподвижную кинематическую пару, динамическая модель которой представляется уравнениями (5.16), и две вращательные пары. Пренебрежем трением во вращательных парах, поскольку оно обычно оказывается значительно менее существенным, чем трение в червячном зацеплении. Уравнения кинетостатики для червячного колеса и червяка оказываются независимыми. Сначала составим уравнения кинетостатики для червячного колеса. Положим, что оси координат 02xyz являются главными центральными осями инерции колеса. Используем соотношения (5.16). Обозначим: r2 – начальный радиус червячного колеса, J20 – момент инерции колеса относительно оси 02z (точка 02z совпадает с центром масс колеса). Проецируя силы, действующие на колесо, на оси координат 02xyz и составляя уравнения моментов относительно этих осей, получаем систему шести уравнений с шестью неизвестными (NAx, Nay, NCx, NCy, N2z, N12):

Пусть направление угловой скорости совпадает с показанным на рисунке: > 0 (sign = +1). Из последнего уравнения (5.36) определим N12:

Найдем значения N12 при различных соотношениях между α, β и f и сведем их в табл. 5.5.

cosα×cosβ > fsinβ cosα×cosβ < fsinβ M2 + J20 > 0 >0 Тяговой режим Нет решения. Режимсамоторможения M2 + J20 < 0 Инверсный тяговый режим >0; . Режимоттормажвания.

Определив N12, можно найти и остальные реакции из уравнений (5.36).

Аналогично составляются и решаются уравнения кинетостатики для червяка: из них определяются реакции опор и движущий момент Q.