Доказательства и опровержения в науке (К. Поппер). Роль воображения и интуиции

Ознакомившись с новыми программами экзаменов кандидатского минимума, мы убеждаемся, что вопросам философии науки и, в частности, философии математики уделяется в них большое внимание.

Отметим прежде всего, что наука — в отличие, например, от религии — опирается не на авторитет, а на эксперимент или на доказательство. Кроме того, выводы и предсказания науки должны быть проверяемы. Заметим, что так было не всегда. Авторитет математики, который она приобрела своими доказательствами, заставлял различных религиозных деятелей вплоть до XVI11 века искать "доказательства существования Бога", которых, кстати, придумано было довольно много.

Против этого выступил Иммануил Кант (1724—1804), показавший несостоятельность известных к его времени "доказательств" существования Бога. Кант считал, что подобные доказательства невозможны в принципе, и что религия и наука вообще независимы друг от друга. Не нужно искать научных доказательств существования Бога и не нужно научными аргументами пытаться доказывать его несуществование. Кто хочет верить, пусть верит. Искреннюю веру надо уважать, но наука здесь ни при чем. В отличие от науки, предписания религии не доказываются и не опровергаются.

Обязательная проверяемость научных выводов и предсказаний позволяет отличить науку от лженауки, например, от астрологии, которая только маскируется под науку, но по сути дела наукой не является. Астрология делает предсказания, прогнозы, но не проверяет их. Вы можете прочесть в газетах прогнозы астрологов типа: "родившихся под знаком Овна на следующей не

деле ожидает успех в делах" или — "у родившихся под знаком Рака на этой неделе возможны неприятности, старайтесь воздерживаться от принятия решений".

Причина проста — когда подобные проверки проводили независимые исследователи, то результатом почти всегда оказывался конфуз: прогнозы не сбывались. Тогда астрологи отказались от проверок и от самого принципа проверяемости. Свои прогнозы астрологи публикуют, а сбываются "прогнозы" или нет— это их не интересует. Так что отказавшись от важнейшего принципа науки — принципа проверяемости — астрология сама себя сделала лженаукой.

Принципы обоснованности и доказуемости положений науки, принципы проверяемости ее выводов и предсказаний получили подробное развитие в работах упоминаемого в "Программах" философа К. Поппера, который называл их принципами "верификации" и "фальсификации".

Математические утверждения, относящиеся к единичным объектам, могут быть проверены непосредственно. Можно проверить, например, равенство

построив график функции у - х и вычислив ограниченную им площадь с помощью планиметра.

Сложнее проверить утверждения общего характера— например, известное утверждение О. Коши: "Сумма сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна". Это утверждение относится к бесконечному множеству функций и непосредственно проверено быть не может. Удостовериться в его истинности можно лишь путем доказательства. Именно так и поступал О. Коши. Основываясь на очевидных исходных предпосылках, он путем строгих логических рассуждений — более строгих, чем у его предшественников, — пришел в 1821 году к своему утверждению о сходящихся рядах, которое он считал истинным.

доказательстве Коши, а создал контрпример — построил ряд (о нем уже говорилось в главе 5):

который состоял из непрерывных функций, сходился, но имел разрывную сумму.

Пример Абеля сразу доказал ошибочность утверждения великого О. Коши, а правильная уточненная теорема (сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций непрерывна) была установлена — как об этом было рассказано в главе 5 — только спустя 27 лет Зейделем и Стоксом.

Пример Абеля показал, какую важную роль играют в математике контрпримеры: венгерский математик Дьердь Пойа (G. РоНа, 1887—1985) — в старых переводах на русский язык его фамилия может встретиться как "Полиа" — вообще писал, что "математика состоит из двух вещей — из теорем и контрпримеров". Таким образом, Пойа считал, что контрпримеры не менее важны, чем теоремы.

Важная роль контрпримеров связана с тем, что в математике "верифицировать", т. е. обосновывать истинность утверждений общего характера, достаточно трудно. Приходится полагаться на доказательство, но ведь доказательства проводят люди, а люди могут ошибаться. Относительно непрерывности суммы сходящегося ряда непрерывных функций ошибался даже великий математик О. Коши.

Зато "фальсифицировать" какое-либо утверждение общего характера, доказать его ошибочность, очень просто: достаточно найти хотя бы один-единст- венный противоречащий утверждению пример. Такой пример называется "контрпримером", и он сразу опровергает обсуждаемое утверждение. По терминологии К. Поппера происходит "фальсификация" ошибочного утверждения.

Отметим, что в 1826 году, после публикации примера Абеля теорема, ранее опубликованная О. Коши, сразу была признана ошибочной — несмотря на то, что Коши был авторитетнейшим математиком того времени, а Абель — молодым ученым. Такова сила контрпримера. Если есть хотя бы один контрпример, то теорема отвергается.

В реальном математическом исследовании поиск контрпримеров часто предшествует доказательству. Возникшая в ходе исследования гипотеза прежде всего проверяется на отсутствие контрпримеров. Только если сам исследователь не обнаружил ни одного контрпримера, и если его коллеги, с кото

рыми он обсуждал свою гипотезу, тоже не нашли контрпримеров — только тогда имеет смысл приступить к доказательству, к превращению гипотезы в теорему.