Метод моделирующих потенциалов и квазиклассическое приближение для уравнения Шредингера тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

доктор физико-математических наук, профессор К.А.Свешников.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.А.Арсеньев, доктор физико-математических паук, профессор Л.А.Шелепин.

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов,

Защита состоится "_" _ 2000 г. в_час. на заседании

диссертационного Совета К-0.53.05.24 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, г.Москпа, Воробьевы горы, МГУ, НИИЯФ МГУ, 19-ый корпус, аудитория 2-15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЯФ МГУ-

Автореферат разослан "_" _ 2000 г.

диссертационного Совета К-0.53.05.24,

доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

РОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА

Проблема решения уравнения Шрёдингера (УШ) не нова, но она является актуальной и по сей день, поскольку до сих пор существует множество нерешенных задач, так или иначе связанных с этим уравнением. К настоящему времени было развито много различных подходов его решения, в частности, нахождение спектра оператора Шрёдингера, то есть собственных значений энергии для разнообразных квантовомеханических систем. Однако в нерелятивистской квантовой механике, описываемой при помощи УШ, существует ограниченный класс точно решаемых задач (см., например, В.И. Фушич, А.Г. Никитин, О.Б. Заславский), таких как задача о гармоническом осцилляторе или об атоме водорода. Поэтому, наряду с исследованием алгебры уравнения Шрёдингера и отысканием таким образом точных решений, были развиты методы нахождения приближенных решений УШ и энергетического спектра. Так как в работе рассматриваются, в основном, связанные состояния, анализ которых ведется на основе квазиклассического приближения и теории возмущений, остановимся подробнее на этих двух подходах.

Теория возмущений (Релея-Шрёдингера или Вигнера-Бриллюэна). Данный подход использует либо разложение по степеням малого параметра собственных функций (СФ) и собственных значений (СЗ), либо метод приближенной диагонализации. Первое имеет место в теории возмущений (ТВ) Релея-Шрёдингера, второе — в теории Вигнера-Бриллюэна, являющейся обобщением ТВ Релея-Шрёдингера. Для реализации данного подхода необходимо знание всего спектра невозмущенной задачи и всех матричных элементов. В качестве нулевого приближения выбирается точно решаемая задача. Данным методом можно решить достаточно большое число задач, однако довольно часто приходится сталкиваться с расходящимися рядами, в частности, в задачах с "сильной связью", и значительными трудностями вычислительного характера. В настоящее время существуют модификации данного подхода, позволяющие преодолеть некоторые из указанных трудностей, в частности, обойтись без знания спектра невозмущенной задачи или получить сходящиеся ряды ТВ. Первый подход был развит П. Дж. Прайсом (1954), Я.Б. Зельдовичем (1956), Д.А. Кирж-

ницем (1958) и др. Второй подход получил развитие в работах B.C. Поликанова (1967), А.Д. Долгова, B.C. Попова (1978), Ю. Ааронова и С.К. Ау (1979), а также в последее десятилетие в работах A.B. Турби-нера, М.А. Шифмана, А.Ю. Морозова, A.M. Переломова, В.Б. Гостева, А.Р. Френкина, A.C. Вшивцева, Н.В. Норина, В.Н. Сорокина, A.B. Тата-ринцева, В.Г. Багрова, Б.Ф. Самсонова, A.B. Шаповалова, Т.К. Ребане, С. Квесне и др. Следует отметить, что вышеупомянутые авторы с успехом используют, наряду с теорией возмущений, теорию алгебр Ли, теорию специальных функции, рекуррентные соотношения и элементы функционального анализа.

Квазиклассическое приближение (метод ВКБ(Д) или метод фазового интеграла). Данный подход успешно применяется при исследовании высоковозбужденных состояний. При исследовании низколежа-щих состояний приходится учитывать высшие приближения, что, в свою очередь, связано с значительными вычислительными трудностями. Кроме того, данный метод позволяет находить связь экспоненциального (в классически запрещенной области) и осцилляторного (в классически допустимой области) решений в точках поворота на действительной оси решений. Формула связи между этими решениями была получена Г. Венцелем, X. Крамерсом, J1. Бриллюэном в 1926 г., а до этого в 1924 г. X. Джеффрисом , который, в свою очередь, опирался на работы Р. Ганса (1915) и Дж. Релея (1912). Следует отметить, что приближение ВКБ было получено намного раньше Ж. Лиувил-лем и Дж. Грином (1837). Позднее Р. Е. Лангер (1937) сделал метод ВКБ(Д) более эффективным, основываясь на равномерных по независимой переменной приближениях функции Эйри ("phase-integral" метод), а Дж. Хеддинг (1962) обобщил этот метод на комплексные переменные. ВКБ(Д)-метод без приближений с функциями Эйри ("lateral connection" метод) был предложен А. Цвааном, Г. Биркгофом, Е. Кемб-лом и В. Ферри и подробно исследован в работах М.В. Федорюка (1965), Н. Фремена и П.У. Фремена (1967), Ф. Олвера (1965) и др. Дальнейшее развитие ВКБ(Д)-метода было предложено М.А. Евграфовым, М.В. Федорюком и В.П. Масловым (1976), В. Вазовым (1960), М. Накано и Т. Нишимото, М.С. Мариновым и B.C. Поповым (1975), В.П. Масловым (1973). Так, В. Вазовым и другими учеными были разработаны различные модификации ВКБ(Д)-метода: ("central connection" метод) (1968) и ("stretching-matching" метод) (1960). А метод канонического оператора, предложенный В.П. Масловым, привел к развитию

комплексной ВКБ (1977) и теории комплексного ростка в работах В.В. Беляева, С.Ю. Доброхотова (1988) и др. В последних модификациях квазиклассического подхода, в первую очередь, широко используются спектральный анализ операторов, теория псевдодифференциальных операторов и теория обобщенных функции (В.П. Маслов, Ф.А. Березин, М.А. Шубин, А. Ворос).

Кроме вышеописанных подходов в настоящее время существует довольно большое количество их модификаций, развивающих либо один вышеупомянутых подходов, либо сочетающих в себе элементы разных подходов. Например, сочетание ТВ с вариационным методом позволило построить регулярную теорию возмущений (Турбинер, 1984), а сочетание элементов статфизики, функционального анализа и квазиклассики позволило не только детально исследовать высоковозбужденные состояния (Дж. Келлер, С. Бубинов i960; Д.В. Косыгин, A.A. Минасов, Я.Г. Синай, 1993), но и быстро получать оценки для спектра оператора Шрёдингера, соответствующего данным состояниям.

Однако, не смотря на значительное число успехов, достигнутых в области изучения УШ, остается немало нерешенных задач и неясных моментов. Например, при изучении спектра оператора Шрёдингера с использованием ВКБ-приближения, как правило, не рассматривают детально форминвариантные точные преобразования Лиувилля-Грина, переводящие исходное УШ в УШ с новым потенциалом и образующие бесконечномерную группу диффеоморфизмов, а рассматривают только нулевое приближение, дающее уравнение Рикатти. Во многих случаях указанное преобразование позволяет приводить УШ к уравнению с суммируемым потенциалом.

Рассмотрение данного преобразования, а конкретно такого нетривиального математического объекта, как производная Шварца, изучавшегося ранее, в основном, в рамках ТФКП при исследовании дробно-линейных отображений, а также в теории поверхностей при изучении локальной изомерии поверхностей постоянной кривизны (с комплексной метрикой) сфере, евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского, позволяет построить весьма интересную композицию ВКБ и ТВ, которая до сих пор не нашла отражения в работах отечественных и зарубежных авторов. Кроме того, отдельный интерес представляют функциональные преобразования Ньютона, применяемые г) теории рассеяния. Автор данного исследования попытался остановиться на теме форминвариантных и фазоэквивалентных пре-

образований, считая, что в рамках сочетания ВКБ и ТВ на базе данных преобразований можно не только преодолеть вышеупомянутые недостатки ВКБ и ТВ, но и эффективно применить построенную в результате теорию к решению различных квантовомеханических задач.

Цель и задачи исследования.

Основной целью работы является анализ и расширение сферы применимости ВКБ приближения в области определения спектра оператора Шрёдингера и фаз рассеяния за счет форминвариантных и фазо-эквивалентных преобразований, позволяющих переходить от задачи с исходным, возможно, достаточно сложным (моделируемым) потенциалом к задаче с простым (моделирующим) потенциалом, не обязательно локально близким к исходному моделируемому потенциалу, но повторяющим его глобальную структуру спектра. В качестве МП можно выбрать такой потенциал, для которого задача нахождения энергетического спектра является точно решаемой (например, кусочно-линейный потенциал). В связи с указанной целью были поставлены следующие задачи:

1) Построение и изучение форминвариантных и фазоэквивалентных преобразований уравнения Шрёдингера. Построение процедуры определения спектра моделирующего и моделируемого потенциалов, а также построение теории возмущений для указанных спектров и получение оценок остаточных членов.

2) Проверка метода на примере гармонического осциллятора и потенциалах вида |or|jV.

-3) Определение при помощи метода МП спектра ангармонического осциллятора, спектра двуямного (не)симметричного потенциала, а также кулоновского спектра.

4) Построение многокомпонентного обобщения метода и его применение к решению спектральной задачи для системы двух частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием.

5) Построение многоканального обобщения фазоэквивалентных преобразований, установление их суперсимметричных свойств и

применение указанных преобразований к определению фаз многоканального N TV-рассеяния.

Объектом исследования в диссертационной работе является, в большей степени, спектр оператора Шрёдингера и, в меньшей степени, фазы рассеяния.

Предметом исследования в работе являются форминвариантные преобразования, а также фазоэквивалентные преобразования уравнения Шрёдингера, позволяющие решать спектральную задачу или задачу нахождения фаз рассеяния путем построения простого моделирующего потенциала, имеющего сходную глобальную структуру спектра с исходным потенциалом, но не являющегося локально близким к моделируемому потенциалу, в первом случае, и оставляющему инвариантной матрицу рассеяния, во втором случае.

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют работы отечественных и зарубежных ученых в области теоретической и математической физики (квантовой теории), а так?ке в области ядерной физики. Кроме работ, опубликованных в ведущих международных и отечественных журналах, автор использовал монографии, учебные и справочные пособия, а также работы, находящиеся в глобальной сети "Интернет" в международной базе данных по адресу http://xxx.itrp.ru. Для проведения численных экспериментов и расчетов автор использовал такие современные языки символьных и численных вычислений как Mathematica 3.0 и Maple 4.5. Кроме того, часть вспомогательных программ для численных расчетов была написана автором с использованием таких языков программирования, как Fortran и С++.

При осуществлении исследований автор придерживался следующих принципов:

1) поиск и применение форминвариантных, фазоэквивалентных преобразований уравнения Шрёдингера;

2) построение таких МП для конкретных видов потенциалов, которые наиболее быстро и точно давали бы решение исходной спектральной задачи;

3) построение регулярного метода нахождения энергетического спектра исходного оператора Шрёдингера;

4) получение аналитических и численных оценок для получаемых приближений;

5) сопоставление предлагаемых методов с другими и выявление их преимуществ и недостатков.

Основными результатами, полученными впервые, являются следующие положения:

1) Показано, что, исходя из форминвариантных преобразований уравнения Шрёдингера, одними из которых являются преобразования Лиувилля, образующие бесконечномерную группу диффеоморфизмов, задачу отыскания спектра оператора Шрёдингера с исходным (моделируемым) потенциалом = Е — 1/(х) можно свести к задаче отыскания спектра оператора Шрёдингера с новым более простым (моделирующим) потенциалом Е) = Е

и(у), не обязательно локально близким исходному потенциалу, но повторяющим его глобальную структуру спектра.

2) Исследована структура указанных форминвариантных преобразований и показано, что основной вклад в спектр моделирующего потенциала дает нулевое приближение, совпадающее с квазиклассикой. Поправки получаются по предложенной автором теории возмущений, построенной на основе теории возмущений Релея-Шрёдингера. Получены оценки остаточных членов.

3) В рамках предложенного подхода исследованы задачи отыскания энергетического спектра оператора Шрёдингера с потенциалами полиномиального вида, а также даны оценки остаточных членов в нулевом и первом приближениях. Работа ММГ1 проверена на примере гармонического осциллятора и потенциалах вида ¡а:^. Показано, что в первом случае ММП дает точный спектр в нулевом приближении, что соответствует квазиклассике.

4) Определен методом ММП энергетический спектр ангармонического осциллятора, а также спектры оператора Шрёдингера с

(не)симметричпым двуямным потенциалом и кулоновским потенциалом. Показано, что ММП в указанных случаях дает лучшие, по сравнению с квазиклассикой, результаты.

5) Многокомпонентное обобщение ММП позволило описать процедуру нахождения спектра в случае сингулярных потенциалов, а также решить спектральную задачу для системы двух заряженных частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием.

6) Исследование близких по форме многоканальных фазоэквивалент-ных и, в частном случае, суперсимметричных преобразований в теории низкоэнергетического рассеяния позволило разработать процедуру определения фаз рассеяния в случае многоканального NN-рассеяния.

Автор диссертации внес существенный личный вклад в решение поставленной задачи. Им были исследованы различные классы моделируемых и моделирующих потенциалов, была разработана и успешно апробирована процедура построения теории возмущений для энергетического спектра моделирующего потенциала. Показано, что основной вклад дает нулевое приближение. Проведено исследование структуры получаемой теории возмущений. Получен энергетический спектр и улучшенные правила квантования Бора-Зоммерфельда для (не)симметричного двуямного потенциала. Показано, что полученные п работе результаты согласуются с экспериментальными с точностью до -5% для п = 1,2,3,4. причем точность быстро улучшается, достигая, например, 0,5% при п = 4. Проведено обобщение ММП на многокомпонентный случай, и исследована спектральная задача для системы двух заряженных частиц с магнитным диполь-дипольным пзаимодействием. Кроме того, были исследованы фазоэквивалентные и, в частном случае, суперсимметричные преобразования п теории многоканального иизкоэнсргетического рассеяния.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что полученные автором результаты вносят определенный вклад в актуальное направление изучения спектров п различных задачах квантовой механики, а также в теорию многоканального иизкоэнсргетического рассеяния.

Практическая значимость исследования заключается в воз-

можности отыскания спектра оператора Шрёдингера путем построения простого моделирующего потенциала, не обязательно локально близкого исходному (моделируемому) потенциалу, но повторяющего его глобальную структуру спектра. Кроме того, модификация данного метода может быть использована при решении задач многоканального рассеяния.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью используемых автором математических методов, органически сочетающих традиционные методы математического анализа и теории групп, а также новейшие алгоритмы символьных и численных компьютерных расчетов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, указанных в конце автореферата.

Результаты исследования докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова и доложены на международной конференции аспирантов и студентов "Ломоносов-99".

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 4 рисунка, 9 таблиц, а также список литературы (128 названий). Объем диссертации 108 страниц.

Во введении указана цель работы, обоснована актуальность поставленной задачи. Дается краткий обзор литературы по теме диссертации. Обсуждаются особенности предлагаемого метода моделирующих потенциалов. Показана научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В первой главе, на основании форминвариантных преобразований

х = №, Щх)\г=т = у/Щ*(у), (1)

применяемых к уравнению Шрёдингера, строится метод моделирующих потенциалов, теория возмущений, позволяющая оценить остаточные члены в нулевом и первом порядках, а также производится проверка метода на примере гармонического осциллятора и потенциалах вида В разделе 1.1 показано, что при определенных предположениях преобразования Лиувилля образуют бесконечномерную группу диффеоморфизмов, обуславливающую сохранение глобальной структуры спектра. Это позволяет строить класс "простых" моделирующих потенциалов, для которых спектральная задача решается точно, а далее по теории возмущений определять энергетический спектр в задаче с исходным моделируемым потенциалом. Показано, что для значений энергий в моделирующих потенциалах справедливо следующее разложение по

где Е$ - энергия л-го уровня в г-м порядке теории возмущений, а ММП в нулевом приближении совпадает с обычной квазиклассикой. Кроме того, в данном разделе обсуждаются основные свойства Швар-циана, используемые как при доказательстве группового характера преобразований Лиувилля, так и в дальнейших разделах при решении спектральных задач.

В разделе 1.2 формулируется процедура нахождения моделирующих потенциалов, а также основные требования, которым должен удовлетворять моделирующий потенциал при условии /'(у) > 0 для функции х

/(у), используемой в преобразованиях Лиувилля, и по-

лучаемой из уравнения

где Е) = Е — и(/(у)) — исходный (моделируемый) потен-

циал, а V (у, Е) = Е - и (у) — моделирующий потенциал в нулевом приближении, для которого спектральная задача решается точно. При этом полный моделирующий потенциал записывается в виде:

где = -2(/'(у))1/2^(/'(^))_1/2 — Шварциан, о котором упоминалось ранее.

5„(£?) = ЩЩйх = /Уп+1 ШЩбу = 5„(1). (5)

При выполнении этих условий формула (3) определяет замену переменной, удовлетворяющую условию /'(у) > 0, а схема нахождения энергетического спектра исходного уравнения строится следующим образом: а) в нулевом приближении спектр исходного уравнения находится путем разрешения относительно Ел уравнений 5П(£) = ЗДЕ^), где Еявляются собственными значениями энергии в потенциале Е); б) последующие приближения находятся подстановкой в точные уравнения 5П(£) = 5„(£|) приближенных собственных значений для \\Г(у, Е), получаемых по теории возмущений, и их разрешения относительно Еп. Кроме указанных требований в данном разделе приводятся оценки сверху (по модулю) для остаточных членов в (2), получаемых в результате реализации описанной процедуры определения спектра в задаче с моделирующим потенциалом. Вопрос о сходимости построенной теории возмущений в общем случае пока не решен.

Далее в разделах 1.3 и 1.4 проводится проверка метода на примере гармонического осциллятора и в случае полиномиального потенциала \¥(х,Е) — Е - |гст где N 6 К На данных и последующих

примерах проводится анализ структуры Шварциана и зависимости спектра исходной задачи от параметров моделирующих потенциалов. Показано, что эти параметры можно варьировать в широком диапазоне значений без значительных изменений в спектре исходной задачи, а полученные результаты согласуются с результатами численных расчетов с точностью до 5% для п — 1,2,3,4. причем точность быстро возрастает, а погрешность, уменьшаясь, достигает, например, 0,5% при п = 4.

Во второй главе метод моделирующих потенциалов применяется к решению ряда спектральных задач.

В разделе 2.1 ММП применяется при решении спектральной задачи для ангармонического осциллятора. В качестве моделирующих потенциалов выбираются кусочно-линейные потенциалы. При этом в нулевом приближении при больших п получается известное выражение для энергии ангармонического осциллятора:

В целом, с увеличением константы связи д точность метода возрастает незначительно. Так, при д = 1 и д = 100 величина погрешности составляет 2,8% и 1,1% соответственно. Однако в рамках квазиклассического подхода данная точность вполне оправдана.

В разделах 2.2-2.3 исследуются спектральные задачи для симметричного и несимметричного двуямного потенциала. В качестве моделируемого симметричного двуямного потенциала выбирается потенциал вида 1<У(х,Е) = Е - (|а:| - В)2, где В > 0, а в качестве моделирующих потенциалов выбираются, как и в предыдущих случаях, кусочно-линейные потенциалы. При этом удается получить значения энергетических уровней как в ямах (присутствует расщепление), так и за их пределами. Для уровней £„сп = 2,3,4 (при В

1) получается следующее выражение:

где к = 5 = 1 для четных решений и к = 6 = 3 для нечетных решений в задаче с симметричным потенциалом.

Что же касается несимметричного двуямного потенциала, то здесь был исследован случай построения спектра только для моделирующе-

го потенциала без спецификации моделируемого потенциала и получено выражение для £(£) в виде

где параметр с > 0 характеризует наклон ломаных, моделирующих левую (более глубокую) яму, а параметр = — агс^(^) связан с константами нормировки решения уравнения Шрёдингера в левой яме. В случае симметричного двуямного потенциала с — 1. Зная 5'(Е) и вычисляя 5(1?) для какого-либо реального моделируемого потенциала, можно найти спектр реальной задачи, используя равенство ЗД =

В разделе 2.4 ММП применяется для решения спектральной задачи с кулоновским потенциалом. Показано, что по сравнению с обычной квазиклассикой, ММП позволяет определить нижние уровни энер-гетическоко спектра с более высокой точностью (при условии, что обычное требование замены 1(1 + 1) на (/ 4- |)2 в центробежномм члене эффективного потенциала опускается). Так, применение обычной квазиклассики дает

в то время как применение ММП дает

при п, I = 0,1,2. Формулы (9) и (10) совпадают с точным решением

2(п+г+1)* ПРИ замене 1(1 + !) на 0 + |)2-

В разделе 2.5 проводится обобщение метода моделирующих потенциалов на многоканальный случай с последующим применением метода к решению спектральной задачи для системы двух заряженных частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием. В многоканальном случае процедура построения спектра исходной задачи остается такой же как и в одноканальном случае, за исключением небольших модификаций требований, накладываемых на выбор моделирующих потенциалов. В предлагаемом обобщении приведенная масса для всех каналов предполагается одинаковой. При этом моде-

лирующий потенцила приобретает вид

Единственно важным отличием оказывается присутствие в матрице У(у,Е) недиагональных членов

Уц(у,Ё) = (Ё- Щ(у)) 513 + - (12)

обеспечивающих, как показано на примере решения вышеупомянутой многоканальной задачи, определенную свободу в выборе относительных "весов" каналов при определении спектра. Оказывается, что в спектральной задаче для двух частиц в(Е) сводится к интегралу:

который выражается через комбинацию эллиптических интегралов первого, второго и третьего рода. (В интеграле (13) — действительные корни подкоренного выражения, р — приведенная масса частиц, коэфффициенты положительны и выра?каются через массы, заряды и факторы Ланде частиц, а коэффициент д ф О выражается только через факторы Ланде частиц). В качестве моделирующего потенциала выбирается потенциал вида У(у,Е) = Е - ^г^ — У2, где

В данном случае ММП также тает лучшие, по сравению с квазиклассикой, результаты, хотя и не обеспечивает достаточной точности в силу своей квазиклассической природы. Тем не менее, предложенные автором многоканальные преобразования Лиувилля позволили свести задачу к одноканальной, провести численные расчеты спектра системы двух частиц и подтвердить наличие сверхтонкой структуры, обусловленной магнитным диполь-дипольным взаимодействием. Анализ различных характеристик узкой ямы, имеющейся вблизи начала координат и придающей потенциалу сингулярный характер, показал, что изменение глубины ямы и связанного с пей поло?кения минимума на два и более порядка оказывает влияние на положение энергетических уровней лишь в пятом знаке после запятой.

Если до этого исследовались только форминвариантные преобразования и решались спектральные задачи по нахождению связанных

состояний, то в заключительной третьей главе исследуется другой класс преобразований уравнения Шрёдингера, а именно фазоэквива-лентные преобразования, сохраняющие неизменной 5-матрицу, которые могут быть также форминвариантными. Частным случаем данных преобразований являются суперсимметричные преобразования Байе-Спаренеберга. Данный класс преобразований является многоканальным обобщением одноканального преобразования Ньютона и может применяться в задачах многоканального низкоэнергетического ТУЛ^-рассеяния. В общем случае, фазоэквивалентные преобразования не обладают групповыми свойствами в отличие от преобразований Ли-увилля, что, в частности, приводит к перестройке дискретного спектра.

В разделе 3.1 проводится постановка задачи многоканального рассеяния. Предполагается, что в системе при энергии Ео существует хотя бы одно связанное состояние, приведенная масса ^ одинакова во всех каналах, а потенциал взаимодействия С/у (г) предполагается эрмитовым и ассимптотически диагонализуемым. Данные преобразования по форме очень похожи на преобразования Лиувилля с

Ф(г, Е) А +С £ (Ф(з, Е0) |*(s, Е0)) dSj

и моделирующим потенциалом

W(r F) - W(r F\ 4- П* 1С d № n ,,

tt (,. Я) - W (г, S) + + c^)|ф(в< m (lo)

коэффициенты А, С, а выбираются произвольным образом. Показано, что при выборе а = 0 и а = оо данные фазоэквивалентные преобразования становятся форминфариантными. В разделе 3.2 показано, что при а = ооиА = С=1 фазоэквивалентные преобразования становятся не только форминвариантными, но и суперсимметричными, совпадая с преобразованиями Вайе-Спаренберга. Кроме того, рассматривается и обратная суперсимметрия. Также как и в случае с многоканальным обобщением ММП, рассмотренном в предыдущей главе, в фазоэквивалентных преобразованиях параметры А и С обеспечивают свободу в выборе относительных "весов" различных каналов. В Заключении приведены основные результаты работы:

1. Показано, что при определенных условиях формэквивалентные преобразования Лиувилля образуют бесконечномерную группу диффеоморфизмов, которая обуславливает сохранение глобальной структуры спектра.

2. На базе преобразований Лиувилля построен метод моделирующих потенциалов, а также получены оценки остаточных членов для энергетических уровней в рамках теории возмущений. Показано, что в нулевом приближении ММП совпадает с квазиклассическим приближением.

3. Работа метода продемострирована при решении спектральных задач с различными типами потенциалов. Также получены оценки серху Шварциана для конкретных типов потенциалов.

3. Проведено многоканальное обобщение метода моделирующих потенциалов.

4. На основе ММП решена спектральная задача для системы двух заряженных частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием без применения стандартной теории возмущений.

5. Рассмотрены фазоэквивалентные преобразования, схожие по форме с преобразованиями Лиувилля и являющиеся обобщением одно-канальных преобразований Ньютона, используемых в теории низкоэнергетического рассеяния. Показано, что при определенном выборе параметров данные преобразования становятся суперсимметричными и форминвариантными.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Свешников Н.А. \, Сидоренко В.Н. Введение в квантовою теорию

поля: сб. задач. — М.: Диалог-МГУ, 1998. — 28 с.

2. Свешников Н.А. |, Сидоренко В.Н. Метод моделирующего потенциала и квазиклассическое приближение для уравнения Шрёдингера/ Сб."Современные проблемы квантовой теории", под ред. проф. В.И.Саврина и О.А.Хрусталева. — М.: НИИЯФ МГУ, 1998, Препринт № 98-23/524. — С. 235-254.

3. Сидоренко Я.#.//Вестник-МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. 1999. — №5. — С. 59.

4. Сидоренко B.H.j/Вестник-МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. 1999. — №6. — С. 55.

5. Shirokov N.A. Sidorenko V.N. Multi-channel phase-equivalent transformation and suppersymmetry. — M.: NPI MSU, 1998, Preprint № 99-9/567. — 20 p. (Ядерная Физика. 2000. №10. В печати.)

6. Сидоренко В.Н. Спектральная задача для системы двух частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием. — М.: Диалог-МГУ, 1999. — 22 с. (Многоканальное обобщение метода моделирующих потенциалов // Вестник-МГУ. Серия 3. Физика. Астрономия. 2000. №1. В печати.)

7. Сидоренко В.Н. Метод моделирующих потенциалов для уравнения Шрёдингера / Сб. материалов конференции "Ломоносов-99". — М.: Изд-во физич. факультета МГУ, 1999. — С. 199-201.

Издательство АО "Диалог-МГУ".

ЛР N 063999 от 04.04.95 г. Подписано к печати 29.12.1999 г. Усл.печ.л.1,0. Тираж 70 экз. Заказ 1219. Тел. 939-3890, 939-3891, 928-1042. Тел./факс 939-3891. 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ.

1. Моделирующий потенциал для уравнения Шрёдингера

1.1. Спектральная задача и моделирующий потенциал.

1.2. Приближенные решения.

1.3. Проверка метода на примере гармонического осциллятора

1.4. Проверка метода на примере полиномиального потенциала ^^.

2. Применение метода МП к нахождению спектра оператора Шрёдингера

2.1. Ангармонический осциллятор

2.2. Симметричный двуямный потенциал.

2.3. Несимметричный двуямный потенциал.

2.4. Кулоновский потенциал.

2.5. Система двух частиц с магнитным диполь-дипольным взаимодействием.

3. Фазоэквивалентные преобразования уравнения Шрёдингера и теория рассеяния

3.1. Задача рассеяния и фазоэквивалентное преобразование

3.2. Многоканальное фазоэквивалентное преобразование.

3.3. Прямая и обратная суперсимметрия.

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

Проблема решения уравнения Шрёдингера [1] (УШ) не нова, но она является актуальной и по сей день, поскольку до сих пор существует множество нерешенных задач, так или иначе связанных с этим уравнением. К настоящему времени было развито много различных подходов его решения, в частности нахождение спектра оператора Шрёдингера, то есть собственных значений энергии, соответствующих разнообразным квантово-механическим системам. Однако, поскольку в нерелятивистской квантовой механике, описываемой при помощи УШ, существует ограниченный класс точно решаемых задач [2, 3, 4], таких как задача о гармоническом осцилляторе или об атоме водорода, то, наряду с исследованием алгебры уравнения Шрёдингера [5]-[12] и отысканием таким образом точных решений, были развиты методы нахождения приближенных решений УШ и энергетического спектра [13]-[38]. Так как в дальнейшем будут рассматриваться, в основном, связанные состояния, то следует остановиться на подходах, обычно используемых в данном случае.

1) Теория возмущений (Релея-Шрёдингера или Вигнера-Бриллюэна) [3, 4]. Данный подход использует либо разложение по степеням малого параметра собственных функций (СФ) и собственных значений (СЗ), либо метод приближенной диагонализации. Первое имеет место в теории Релея-Шрёдингера, второе — в теории Вигнера-Бриллюэна, являющейся обобщением ТВ Релея-Шрёдингера [39]. Для реализации данного подхода необходимо знание всего спектра невозмущенной задачи и всех матричных элементов. В качестве нулевого приближения выбирается точно решаемая задача. Данным методом можно решить достаточно большое число задач, однако довольно часто приходится сталкиваться с расходящимися рядами, в частности, в задачах с "сильной связью", и значительными трудностями вычислительного характера. В настоящее время существуют модификации данного подхода, позволяющие преодолеть некоторые из указанных трудностей, в частности, обойтись без знания спектра невозмущенной задачи, или получить сходящиеся ряды ТВ. Первый подход был развит П.Дж. Прайсом (1954)[40], Я.Б. Зельдовичем [41, 42], Д.А. Киржни-цем [43, 44], Долгарно и Левисом, Стейнхаммером [45] и др. Второй подход получил развитие в работах B.C. Поликанова [49, 50], А.Д. Долгова, B.C. Попова [46], Ю. Ааронова и С.К. Ау [51], а также в последние десятилетия в работах A.B. Турбинера [47, 48, 29, 30], М.А. Шифмана, А.Ю. Морозова, A.M. Переломова, В.Б. Гостева, А.Р. Френ-кина, A.C. Вшивцева, Н.В. Норина, В.Н. Сорокина, A.B. Татаринце-ва, В.Г. Багрова, Б.Ф. Самсонова, A.B. Шаповалова, С. Квесне и др. [31]-[38]. Следует отметить, что вышеупомянутые авторы с успехом используют наряду с теорией возмущений теорию алгебр Ли, теорию специальных функций, рекуррентные соотношения и элементы функционального анализа.

2) Вариационный метод (метод Хартри, Хартри-Фока и др. его модификации) [2, 3]. Данный подход успешно применяется при решении широкого класса многомерных задач. В частности, данный подход позволяет получать оценки снизу для спектра оператора Шрёдингера. Однако в рамках данного подхода трудно оценивать точность получаемых результатов, поскольку получаемые оценки довольно грубы, а их уточнение представляет собой весьма трудную задачу. Кроме того, есть определенный произвол в выборе пробных функций, который особенно сказывается на скорости достижения определенной точности и при изучении возбужденных состояний в силу возникающей проблемы ортогональности. Вариационный метод (прямой или по иному метод Ритца) тесно связан с ТВ, поскольку вычисление поправки первого порядка к дискретному спектру есть вычисление Еп с ВФ невозмущенного уравнения взятого в качестве пробной функции. В качестве современных модификаций данного подхода следует отметить адиабатическое приближение, рассматриваемое в работах A.A. Локшина, A.C. Саакяна, В.И. Тюлина и др. [25]- [28].

3) Квазиклассическое приближение (метод ВКВ(Д) или метод фазового интеграла) [3]. Данный подход успешно применяется при исследовании высоковозбужденных состояний. При исследовании низколежа-щих состояний приходится учитывать высшие приближения, что, в свою очередь, связано с значительными вычислительными трудностями (см. например [52]). Кроме того, данный метод позволяет находить связь экспоненциального (в классически запрещенной области) и осцилляторного (в классически допустимой области) решений в точках поворота на действительной оси решений. Данная формула связи была получена Г. Венцелем, X. Крамерсом, J1. Бриллюэном в 1926 г. [53, 54, 55], а до этого в 1924 г. X. Джеффрисом [56], который, в свою очередь, опирался на работы Р. Ганса (1915) [57] и Дж. Релея (1912) [58]. Следует отметить, что приближение ВКБ было получено намного раньше Ж. Лиувиллем [59] и Дж. Грином (1837) [60]. Р.Е. Лангер (1937) [61] сделал метод ВКБ(Д) более эффективным, основываясь на равномерных по независимой переменной приближениях функции Эйри ("phase-integral" метод), а Дж. Хеддинг [62] обобщил этот метод на комплексные переменные. ВКБ(Д)-метод без приближений с функциями Эйри ("lateral connection" метод) был предложен А. Цвааном [63], Г. Биркгофом [64], Е. Кемблом [65] и В. Ферри [66] и подробно исследован в работах М.В. Федорюка [67], Н. Фремена и П.У. Фремена [68], Ф. Олвера [69, 70, 71] и др. Дальнейшее развитие ВКБ(Д)-метода было предложено М.А. Евграфовым [72], М.В. Федорюком и В.П. Масловым [73], В. Вазовым [75, 76], М. Накано и Т. Нишимото [78], М.С. Мариновым и B.C. Поповым [79], В.П. Масловым [21]. Так, В. Вазовым и другими учеными были разработаны различные модификации ВКБ(Д)-метода:("сеп^а1 connection" метод) [76, 77] и ("stretching-matching" метод) [75, 76]. А метод канонического оператора, предложенный В.П. Масловым, привел к развитию комплексной ВКБ и теории комплексного ростка в работах В.В. Беляева, С.Ю. Доброхотова и др. В последних модификациях квазиклассического подхода, в первую очередь, широко используются спектральный анализ операторов, теория псевдодифференциальных операторов и теория обобщенных функций (В.П. Маслов, Ф.А. Березин, М.А. Шубин А. Ворос).

4) Численные методы. В рамках данного подхода удается успешно решать многие одномерные задачи квантовой теории при помощи применения различных разностных схем к дискретному аналогу УШ [80]- [84]. Однако при переходе к многомерии не только возрастает количество вычислений, но и уменьшается их степень достоверности из-за самих проблем, связанных со сходимостью численных методов.

Кроме вышеописанных подходов в настоящее время существует довольно большое количество их модификаций, развивающих либо один их вышеупомянутых подходов, либо сочетающих в себе элементы разных подходов. Например, сочетание ТВ с вариационным методом позволило построить регулярную теорию возмущений [29], а сочетание элементов статфизики, функционального анализа и квазиклассики позволило не только детально исследовать высоковозбужденные состояния [85]-[87], но и быстро получать оценки для спектра оператора Шрёдингера, соответствующего данным состояниям.

Однако, не смотря на значительное число успехов, достигнутых в области изучения УШ [95]—[102], остается немало нерешенных задач и неясных моментов. Например, при изучении спектра оператора Шрёдингера с использованием ВКБ-приближения, рассматривают только уравнение Ри-катти, получаемое в приближении эйконала, в то время как существует точное преобразование Лиувилля-Грина, переводящее исходное УШ в УШ с новым потенциалом и дающее уравнение Рикатти в нулевом приближении. Во многих случаях указанное преобразование позволяет приводить УШ к уравнению с суммируемым потенциалом.

Рассмотрение данного преобразования, а конкретно такого нетривиального математического объекта, как производная Шварца [88, 89], изучавшегося ранее в основном в рамках ТФКП при исследовании дробно-линейных отображений [90], а также в теории поверхностей при изучении локальной изомерии поверхностей постоянной кривизны (с комплексной метрикой) сфере, евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского [92] позволяет построить весьма интересную композицию ВКБ и ТВ, которая до сих пор не нашла должного отражения в работах отечественных и зарубежных авторов. Кроме того, отдельный интерес представляют фун-циональные преобразования Ньютона, применяемые в теории рассеяния. Автор данного исследования попытался остановиться на теме форминвариантных и фазоэквивалентных преобразований, считая, что в рамках сочетания ВКБ и ТВ можно не только преодолеть вышеупомянутые недостатки ВКБ и ТВ, но и эффективно применить построенную в результате теорию к решению различных квантовомеханических задач [94]-[101]. При решении поставленных задач использовались асимптотики спецфункций, данные в справочнике [103] и в книге [89]. По некоторым параметрам данные асимптотики отличаются от асимптотик из [104,105].

Цель и задачи исследования.

Основной целью данной работы является анализ и расширения сферы применимости ВКБ приближения в области определения спектра оператора Шрёдингера и фаз рассеяния за счет форминвариантных и фазоэквивалентных преобразований, позволяющих переходить от задачи с исходным, возможно, достаточно сложным (моделируемым) потенциалом к задаче с простым (моделирующим) потенциалом, не обязательно локально близким к исходному моделируемому потенциалу, но повторяющим его глобальную структуру спектра. В качестве МП можно выбрать такой потенциал, для которого задача нахождения энергетического спектра является точно решаемой (например, кусочно-линейный потенциал). В связи с поставленной целью были определены следующие задачи:

2) Проверка метода на примере гармонического осциллятора и потенциалах вида \х\н.

3) Определение при помощи метода МП спектра ангармонического осциллятора, спектра двуямного (не)симметричного потенциала, а также кулоновского спектра.

5) Построение многоканального обобщения фазоэквивалентных преобразований, установление их суперсимметричных свойств и применение указанных преобразований к определению фаз многоканального NN-рассеяния с потенциалом Nijmegen II.

Предметом исследования в диссертационной работе являются фор-минвариантные преобразования, а также фазоэквивалентные преобразования уравнения Шрёдингера, позволяющие решать спектральную задачу или задачу нахождения фаз рассеяния путем построения простого моделирующего потенциала, имеющего сходную глобальную структуру спектра с исходным потенциалом, но не являющегося локально близким к моделируемому потенциалу, в первом случае, и оставляющему инвариантной матрицу рассеяния, во втором случае.

Теоретическую и методологическую основу исследования составляют работы отечественных и зарубежных ученых в области теоретической и математической физики (квантовой теории), а также в области ядерной физики. Кроме работ, опубликованных в ведущих международных и отечественных журналах, автор использовал монографии, учебные и справочные пособия, а также работы, находящиеся в глобальной сети "Интернет" в международной базе данных по адресу http://xxx.itrp.ru. Для проведения численных экспериментов и расчетов автор использовал такие современные языки символьных и численных вычислений как Mathematica 3.0 и Maple 4.5. Кроме того, часть вспомогательных программ для численных расчетов была написана автором с использование таких языков программирования, как Fortran и С++.

При осуществлении исследований автор придерживался следующих принципов:

1) поиск и применение форминвариантных, фазоэквивалентных преобразований оператора Шрёдингера и потенциалов;

2) построение таких МП для конкретных видов потенциалов, которые наиболее быстро давали бы решение исходной спектральной задачи;

3) построение регулярного метода нахождения энергетического спектра исходного оператора Шрёдингера;

4) получение аналитических и численных оценок для получаемых приближений;

5) сопоставление предлагаемых методов с другими и выявление их преимуществ и недостатков.

Основными результатами, полученными впервые, являются следующие положения:

1) Показано, что, исходя из форминвариантных преобразований уравнения Шрёдингера, одними из которых являются преобразования Ли-увилля, образующие бесконечномерную группу диффеоморфизмов, задачу отыскания спектра оператора Шрёдингера с исходным (моделируемым) потенциалом Ц?

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎