Метод Ньютона для систем нелинейных уравнений

Метод Ньютона [1] [2] решения систем нелинейных уравнений является обобщением метода Ньютона решения нелинейных уравнений, который основан на идее линеаризации. Пусть [math] F(x) : ^1 \to ^1[/math] - дифференцируемая функция и необходимо решить уравнение [math]F(x) = 0[/math] .

Взяв некоторое [math]x_0[/math] в качестве начального приближения решения, мы можем построить линейную аппроксимацию

[math]F(x)[/math] в окрестности [math]x_0 : F(x_0+h) \approx F(x_0)+F^\prime(x_0)h[/math] и решить получающееся линейное уравнение [math]F(x_0 )+F^\prime (x_0 )h =0[/math] .

Таким образом получаем итеративный метод : [math] x_ = x_k - ^F(x_k), \ k = 0,1,\ldots [/math] .

Данный метод был предложен Ньютоном в 1669 году [3] . Более точно, Ньютон оперировал только с полиномами; в выражении для [math]F(x+h)[/math] он отбрасывал члены более высокого порядка по h , чем линейные. Ученик Ньютона Рафсон в 1690 г. предложил общую форму метода (т. е. не предполагалось что [math]F(x)[/math] обязательно полином и использовалось понятие производной), поэтому часто говорят о методе Ньютона—Рафсона. Дальнейшее развитие исследований связано с именами таких известных математиков, как Фурье, Коши и другие. Например, Фурье доказал в 1818 г., что метод сходится квадратично в окрестности корня, а Коши (1829, 1847) предложил многомерное обобщение метода и использовал метод для доказательства существования решения уравнения.

Пусть дана система из [math]n[/math] нелинейных уравнений с [math]n[/math] неизвестными.

[math] \left\