Презентация по математике на тему "Матрицы. Типы матриц."

Прямоугольную таблицу А состоящую из 𝒎 строк и 𝒏 столбцов, элементами которой являются действительные числа, называют числовой матрицей порядка 𝒎 × 𝒏 (читается «𝑚 на 𝑛»).

𝑨 𝒎 × 𝒏 = 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 … 𝑎 𝑚1 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 … 𝑎 𝑚2 𝑎 13 𝑎 23 𝑎 33 … 𝑎 𝑚3 … … … 𝑎 𝑖𝑗 … 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 𝑎 3𝑛 … 𝑎 𝑚𝑛 𝒎 × 𝒏

Действительное число 𝒂 𝒊𝒋 , где i – номер строки, j - номер столбца на пересечении которых стоит это число в матрице, называется элементом матрицы 𝑨.

𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 … 𝑎 𝑚1 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 … 𝑎 𝑚2 𝑎 13 𝑎 23 𝑎 33 … 𝑎 𝑚3 … … … 𝒂 𝒊𝒋 … 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 𝑎 3𝑛 … 𝑎 𝑚𝑛 𝒎 × 𝒏 i-ая строкаj-й столбец 𝒂 𝒊𝒋

Основные типы матриц.Пусть 𝒎=𝒏, тогда матрица А – квадратная матрица, которая имеет порядок 𝑛. 𝑨 𝒏 × 𝒏 = 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 … 𝑎 𝑛1 𝑎 12 𝑎 22 𝑎 32 … 𝑎 𝑛2 𝑎 13 𝑎 23 𝑎 33 … 𝑎 𝑛3 … … … … … 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 𝑎 3𝑛 … 𝑎 𝑛𝑛 𝒏 × 𝒏

Пример квадратной матрицы

1 2 3 4 2×2 Пример квадратной матрицы

1 4 7 2 5 8 3 6 9 3×3

Основные типы матриц.Пусть 𝒎 = 1, тогда матрица А – матрица-строка 𝑨 𝟏 × 𝒏 = 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 13 … 𝑎 1𝑛 𝟏 × 𝒏 = 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 … 𝑎 𝑛 𝟏 × 𝒏

Основные типы матриц.Пусть 𝒏 = 1, тогда матрица А – матрица-столбец 𝑨 𝒎 × 𝟏 = 𝑎 11 𝑎 21 … 𝑎 𝑚1 𝒎 × 𝟏 = 𝑎 1 𝑎 2 … 𝑎 𝑚 𝒎 × 𝟏

Основные типы матриц.В квадратной матрице 𝐴 𝑛×𝑛 элементы 𝒂 𝟏𝟏 , 𝒂 𝟐𝟐 , 𝒂 𝟑𝟑 … 𝒂 𝒏𝒏 образуют главную диагональ матрицы A. 𝒂 𝟏𝟏 𝑎 21 𝑎 31 … 𝑎 𝑛1 𝑎 12 𝒂 𝟐𝟐 𝑎 32 … 𝑎 𝑛2 𝑎 13 𝑎 23 𝒂 𝟑𝟑 … 𝑎 𝑛3 … … … … … 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 𝑎 3𝑛 … 𝒂 𝒏𝒏 𝒏 × 𝒏

В квадратной матрице 𝐴 𝑛×𝑛 элементы 𝒂 𝟏𝒏 , 𝒂 𝟐𝒏−𝟐 , 𝒂 𝟑𝒏−𝟑 … 𝒂 𝒏𝟏 образуют побочную диагональ матрицы A. 𝑎 11 𝑎 21 𝑎 31 … 𝒂 𝒏𝟏 … … … … … 𝑎 1𝑛−2 𝑎 2𝑛−2 𝒂 𝟑𝒏−𝟐 … 𝑎 𝑛𝑛−2 𝑎 1𝑛−1 𝒂 𝟐𝒏−𝟏 𝑎 3𝑛−1 … 𝑎 𝑛𝑛−1 𝒂 𝟏𝒏 𝑎 2𝑛 𝑎 3𝑛 … 𝑎 𝑛𝑛 𝑛 × 𝑛

Пример главной диагонали

−𝟏 2 0 3 −𝟏 4 8 0 𝟑 Пример побочной диагонали

Основные типы матриц.Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю. 𝒂 𝟏𝟏 0 0 … 0 0 𝒂 𝟐𝟐 0 … 0 0 0 𝒂 𝟑𝟑 … 0 … … … … … 0 0 0 … 𝒂 𝒏𝒏 𝒏 × 𝒏

Пример диагональной матрицы

Основные типы матриц.Квадратная матрица называется верхней треугольной , если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю. 𝒂 𝟏𝟏 0 0 … 0 𝒂 𝟏𝟐 𝒂 𝟐𝟐 0 … 0 𝒂 𝟏𝟑 𝒂 𝟐𝟑 𝒂 𝟑𝟑 … 0 … … … … … 𝒂 𝟏𝒏 𝒂 𝟐𝒏 𝒂 𝟑𝒏 … 𝒂 𝒏𝒏 𝒏 × 𝒏 Квадратная матрица называется нижней треугольной , если все ее элементы выше главной диагонали равны нулю. 𝒂 𝟏𝟏 𝒂 𝟐𝟏 𝒂 𝟑𝟏 … 𝒂 𝒏𝟏 0 𝒂 𝟐𝟐 𝒂 𝟑𝟐 … 𝒂 𝒏𝟐 0 0 𝒂 𝟑𝟑 … 𝒂 𝒏𝟑 … … … … … 0 0 0 … 𝒂 𝒏𝒏 𝒏 × 𝒏 Пример верхней треугольной матрицы

−1 2 −1 0 1 0 0 0 3 Пример нижней треугольной матрицы

−1 0 0 5 1 0 3 6 3

Основные типы матриц.Диагональная матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны 1. 𝟏 0 0 … 0 0 𝟏 0 … 0 0 0 𝟏 … 0 … … … … … 0 0 0 … 𝟏 𝒏 × 𝒏

Единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел.Единичная матрица определяется только для квадратных матриц.

Основные типы матриц.Нулевой матрицей называется матрица порядка 𝒎×𝒏, все элементы которой равны 0. 𝟎 0 0 … 0 0 𝟎 0 … 0 0 0 𝟎 … 0 … … … … … 0 0 0 … 𝟎 𝒎 × 𝒏

Нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.

Основные типы матриц.Матрица 𝑨 𝑻 𝒏×𝒎 называется транспонированной к матрице 𝑨 𝒎×𝒏 , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы 𝑨 𝒎×𝒏 .Если матрица А имеет порядок m×n, то транспонированная матрица имеет порядок n×m.

Пример транспонирования матрицы

𝐴 2×3 = 1 3 5 0 4 7 , 𝐴 𝑇 3×2 = 1 0 3 4 5 7

Основные типы матриц.Матрица А называется симметричной, если А=АT. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть 𝑎 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑗𝑖 . Матрица А называется кососимметричной, если А= - АT. На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали 𝑎 𝑖𝑗 =− 𝑎 𝑗𝑖 Симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные.

Пример симметричной матрицы

𝐴 𝑇 2×2 = 1 8 8 2 Пример кососимметричной матрицы

Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц.После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.На сегодняшний день матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.