Механические колебания, динамика (примеры решения задач)

Всякое колебательное движение, в том числе и гармоническое, характеризуется амплитудой \(A\) , периодом колебаний \(T\) , частотой \(\nu\) , циклической (круговой) частотой \(\omega\) и фазой колебаний \(\varphi\) .

Амплитудой \(A\) называют наибольшее значение колеблющейся величины (максимальное смещение от положения равновесия).

Число полных колебаний в единицу времени называют частотой:

Циклическая (круговая) частота - это число полных колебаний в течении \(2\pi\) с:

Периодом называю время, в течении которого совершается одно полное колебание:

Смещение, скорость и ускорение при гармоническом колебании определяются уравнениями

Здесь \((\omega{t>+\varphi_0)\) - фаза колебаний, а \(\varphi_0\) - начальная фаза.

Сила, действующая на тело при свободном гармоническом колебании (квазиупругая сила), всегда пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению:

где \(k=m{\omega_0>^2\) - коэффициент квазиупругой силы, измеряемый силой, вызывающей смещение \(x\) , равное единице.

При отсутствии сопротивления среды циклическая частота \(\omega_0\) свободных гармонических колебаний, называемых собственной циклической частотой и период \(T\) равны:

Период колебания математического маятника длиной \(l\) равен

Период колебаний физического маятника

где \(I\) - момент инерции маятника относительно оси качаний, \(d\) - расстояние от оси его до центра тяжести.

Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, постоянна и равна

Уравнение смещения в затухающих колебаниях при наличии силы сопротивления \(F_s\) пропорциональной скорости ( \(F_s=-rv\) , где \(r\) - коэффициент сопротивления) имеет вид:

Здесь \(A_0e^{-\beta{t>>\) - убывающая по времени амплитуда смещения; \(\beta\) - коэффициент затухания; \(\omega\) - циклическая частота; \(A_0,\varphi_0\) - начальные амплитуда и фаза, определяются из начальных условий.

Величины \(\beta\) и \(\omega\) выражаются через параметры системы \(r,m,k\) формулами:

Логарифмический декремент затухания

где \(A_1,A_2\) - амплитуды двух последовательных колебаний.

Амплитуда вынужденных колебаний

где \(h\) - есть отношение амплитуды вынуждающей силы к массе тела; \(\omega_0\) - собственная циклическая частота; \(\omega\) - циклическая частота вынуждающей силы.

Резонансная циклическая частота равна

Динамика колебательного движения

Задача 1.

Шарик массой 20 г колеблется с периодом 2 с. В начальный момент времени шарик обладал энергией 0,01 Дж и находился от положения равновесия на расстоянии 2,5 см. Составить уравнение гармонического колебания и закон изменения возвращающей силы с течением времени.

Решение.

Запишем краткое условие задачи.

Выберем в качестве ИСО "Лабораторию" - помещение в котором мы наблюдаем колебание шарика. Задачи часто решают в лабораторной ИСО.

Будем искать \(x\) в виде

Так как период колебаний известен, то \(\omega=\frac{2\pi>{T>=\pi\) c -1 .

Амплитуду колебаний найдем из выражения для энергии \(W=\frac{m\omega^2{A^2>>{2>\) , откуда

Воспользуемся теперь условием начального момента \(t=0\)

Подставляя найденные значения в (1), получим:

Если на тело массы \(m\) действует квазиупругая сила, то тело совершает гармонические колебания с циклической частотой

Задача 2.

Тело, неподвижно висящее на цилиндрической пружине, растягивает её на \(x_0=5\) см. Затем тело было смещено из положения равновесия по вертикали и отпущено, в результате чего оно стало совершать колебания. Найти их период.

Запишем краткое условие задачи.

Выберем в качестве ИСО точку подвеса пружины, ось OX направим вертикально вниз.

На тело действуют две силы: сила тяжести \(F_t=mg\) и сила упругости пружины \(F_u=-kx\) .

Когда тело покоится, равнодействующая приложенных к нему сил равна нулю: \(mg-kx_0=0\) .

Отсюда можем сразу найти коэффициент жесткости пружины: \(k=\frac{mg>{x_0>\) .

Пусть теперь тело смещено от положения равновесия на \(x'\) и пружина растянулась на величину \(x'+x_0\) . Равнодействующая сил в этом случае есть

Мы видим, что и при наличии силы тяжести тело будет совершать гармонические колебания, период которых можно определить по формуле

Задача 3.

Ареометр массы \(m=55\) г, плавающий в растворе серной кислоты, указывает, что плотность жидкости \(\rho=1.27\) г/см 3 . Если прибор сместить из положения его равновесия немного по вертикали и отпустить, он начнет колебаться. Считая колебания незатухающими, определить их период, если радиус цилиндрической трубки ареометра, в которой заключена его шкала, равен \(r=0.30\) см.

Запишем краткое условие задачи.

По правила надо было бы перевести данные величины в СИ, но поскольку мы ищем период, который измеряется в секундах, мы этого делать не будем, хотя это и не очень правильно.

Выберем в качестве ИСО сосуд с кислотой, т.е. в нашей задаче сосуд и кислота неподвижны. Ось \(Ox\) направим вниз.

На погруженный в жидкость ареометр действуют две силы: сила тяжести \(mg\) и выталкивающая, архимедова, сила \(F_A\) , равная весу жидкости, вытесненной телом:

\(F_A=P=m_kg={\rho>Vg\) , (1)

где \(V\) - объем вытесненной жидкости, равный объему погруженной в кислоту части ареометра.

Если ареометр находится в равновесии, то приложенные к нему силы уравновешены.

Сместим ареометр из положения равновесия на величину \(x\) вниз. В силу изменения объема погруженной в жидкость нижней части ареометра изменится и архимедова сила. На ареометр будет действовать равнодействующая сила, направленная вниз:

Здесь \(\Delta{V>={\pi>r^2x\) - изменение объема погруженной части прибора. Подставляя в (2) это значение и учитывая (1), получим:

где \(k={\pi>r^2{\rho>g\) - постоянная величина. мы видим, что на ареометр действует сила, пропорциональная смещению, взятому с обратным знаком, т.е. квазиупругая сила. Следовательно, он совершает гармонические колебания, период которых может быть найден по формуле