Кратные и криволинейные интегралы ( СОДЕРЖАНИЕ )

Мы рассмотрим в основном криволинейные интегралы по плоским кривым. В дальнейшем под кривой будем понимать кусочно-гладкую кривую.

Пусть L = АВ - незамкнутая кривая в плоскости хОу с концевыми точками А , В; z=f (x,y) - функция, определенная на кривой L . Разобьем кривую L последовательными точками

На дуге d i выберем произвольную точку М i (ti , si) (i = 1,2, . . . , n) ( рис. 13). Обозначим D li длину дуги d i , а .

Составим интегральную сумму функции f (x,y ) по кривой L

Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции f (x,y ) по кривой L и обозначается

В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 1-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция f (x,y ) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 1-го рода (20) существует.

Некоторые свойства криволинейного интеграла 1-го рода. Для криволинейных интегралов 1-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности (см. аналогичные свойства для тройного интеграла в п. 10).

1) ½ L ½ = , где ½ L ½ - длина кривой L .

2) Криволинейный интеграл 1-го рода (20) не зависит от ориентации кривой L . Это значит, что интеграл не зависит от того, какая из концевых точек А и В является начальной точкой кривой.

Физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода. Пусть L - кривая с линейной плотностью массы m (х, у). Тогда масса кривой равна

Замечание. Криволинейный интеграл 1-го рода аналогично определяется и для пространственной кривой.

15. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t), y= y (t), a ? t ? b ,

где j (t), y (t) - непрерывно дифференцируемые на отрезке [ a , b ] функции. Тогда

Пусть кривая L задана явно уравнением

y=g (x), a ? x ? b ,

где g (x) - непрерывно дифференцируемая на [ a , b ] функция. Тогда

Примеры. 12) Вычислить интеграл , где L - часть окружности x 2 + y 2 = 4, расположенная в первой четверти координатной плоскости.

Решение. Параметрическое уравнение данной кривой L имеет вид x = 2cost , y=2sint, 0 ? t ? p /2 . Положив

применим формулу (22). Сначала вычислим

Теперь по формуле (22) имеем

13) Вычислить массу части параболы y 2 =4х от точки О (0, 0) до точки А(4, 4) , если ее линейная плотность равна m (х, у) = у.

Решение. Кривая ОА приведена на рис.15. Положим

По формуле (23) имеем

16. Криволинейный интеграл 2-го рода.

Рассмотрим ориентированную незамкнутую кривую L = АВ в плоскости хОу с началом в точке А и концом в точке В; z=f (x,y ) - функция, определенная на кривой L . Разобьем кривую L последовательными точками

на дуги d 1 = А0А1, d 2 = А1А2, . . . , d n = А n-1 А n и на дуге d i выберем произвольную точку М i (ti , si) (i = 1, 2, . . . , n) ( рис. 16). Обозначим D xi = xi - xi - 1 , D yi = yi - yi - 1 , а d - наибольшую из длин дуг d i ( i = 1,2, . . . , n).

Составим интегральную сумму функции f (x,y ) по кривой L относительно х

Определение. Предел , если он существует, называется криволинейным интегралом 2-го рода от функции f (x,y ) по кривой L относительно х и обозначается

В случае замкнутой кривой L выбирается произвольная точка на кривой, которая принимается за концевые точки А, В, и криволинейный интеграл 2-го рода определяется аналогично случаю незамкнутой кривой.

Теорема (достаточное условие существования интеграла). Если функция f (x,y ) непрерывна на кривой L за исключением, быть может, конечного числа точек и ограничена на L, то криволинейный интеграл 2-го рода (24) существует.

Некоторые свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Для криволинейных интегралов 2-го рода выполняются свойства линейности и аддитивности (см. аналогичные свойства для тройного интеграла в п. 10).

Это свойство связано с тем, что при изменении направления обхода кривой все приращения D x i и, следовательно , интегральная сумма Sx изменяют знак .

Аналогично определяется криволинейный интеграл 2 -го рода от функции g (x,y ) по кривой L относительно у

Пусть на ориентированной кривой L определены две функции f (x, y) и g (x, y) . Тогда сумма интегралов (24) и (25) называется общим криволинейным интегралом 2-го рода от функций f (x,y) и g (x,y ) по кривой L и обозначается

Физический смысл криволинейного интеграла 2-го рода. Пусть

- сила, действующая на материальной точку М ( x, y) ориентированной кривой L . Тогда работа, совершаемая силой при перемещении точки М вдоль ориентированной кривой L , равна

Замечание. Криволинейный интеграл 2-го рода аналогично определяется и для пространственной ориентированной кривой.

Площадь плоской фигуры. Пусть простая замкнутая кривая 3 L ориентирована “ против часовой стрелки ” , D - область, ограниченная кривой L . Тогда площадь области D равна

17. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

Пусть ориентированная кривая L задана параметрическими уравнениями

x = j (t), y= y (t), a ? t ? b ,

где j (t), y (t) - непрерывно дифференцируемые на отрезке [ a , b ] функции. Тогда

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L : если ориентации кривой L соответствует изменение параметра t от a до b , то в формуле (29) выбирается первый вариант пределов интегрирования. В противном случае в (29) нужно выбирать вариант пределов интегрирования в скобках.

Пусть кривая L задана явно уравнением y=h(x), a ? x ? b , где h (x) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [ a , b ] функция. Тогда

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L , как в формуле (29).

Пусть кривая L задана явно уравнением x=h(y), a ? y ? b , где h (y) - непрерывно дифференцируемая на отрезке [ a , b ] функция. Тогда

Пределы интегрирования выбираются в соответствии с ориентацией кривой L , как в формуле (29).

Примеры. 14) Вычислить работу силы , приложенной к точке М( x , y) при перемещении точки вдоль кривой x = 2cost , y=2sint, 0 ? t ? p /2 от точки (0, 2) до точки (2, 0).

Решение. Данная кривая - это дуга ВА из рис. 14. По формуле (27) искомая работа равна

Положим и применим формулу (29). При этом учтем, что при движении по кривой от точки В до точки А параметр t изменяется от p / 2 до 0.

15) Вычислить , где кривая ОА дана на рис. 15.

Решение. Кривая ОА задается уравнением Положив ,

применим формулу (29), при этом учтем тот факт, что при движении по кривой от точки О до А переменная x меняется от 0 до 4.

16) Вычислить где L - замкнутая кривая ОВАО из рис. 15.

Решение. Кривая L состоит из линий ОВ, ВА и АО. По свойству аддитивности

Отрезок ОВ задается уравнением у = 0 при 0 ? х ? 4. Значит, dy = 0. Тогда по формуле (30)

Отрезок В A задается уравнением х = 4 при 0 ? у ? 4. Тогда dх = 0 и по формуле (31) имеем

Кривая АО задается уравнением при изменении значения у от 4 до 0. Значит, и по формуле (31) получаем

Подставив вычисленные интегралы в (32), получаем

Замечание. По формуле (28) видно, что вычисленный интеграл равен удвоенной площади области, ограниченной контуром ОВАО.